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1、1 工程数学作业（一）答案（满分 100 分） 第 2 章 矩阵 （一）单项选择题（每小题 2 分，共 20 分） 设，则（D） aaa bbb ccc 123 123 123 2 aaa ababab ccc 123 112233 123 232323 A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若，则（A） 0001 000 0200 100 1 a a a A. B. 1 C. D. 1 1 2 1 2 乘积矩阵中元素（C） 11 24 103 521 c23 A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）A B,n A. B. ABAB 111 (
2、)ABBA 1 1 C. D. ()ABAB 111 ()ABA B 111 设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）A B,nk 0k 1 A. B. ABABABn A B C. D. kAk A kAkA n () 下列结论正确的是（A） A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵AA1 B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵A B,nAB C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵A B,nAB D. 若均为阶非零矩阵，则A B,nAB 0 矩阵的伴随矩阵为（C） 13 25 A. B. 13 25 13 25 C. D. 53 21 53 21 方阵可逆的充分必要条件是（B）A A. B. C
3、. D. A 0A 0A* 0A* 0 设均为阶可逆矩阵，则（D）A B C,n()ACB 1 A. B. ( ) BA C 111 B CA 11 C. D. A CB 111 ()()BCA 111 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）A B C,n A. B. ()ABAABB 222 2()AB BBAB 2 C. D. ()22 1111 ABCCBA ()22ABCC B A 2 （二）填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7 210 140 001 是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 111 11 111 xx 若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 54
4、 矩阵A34B25AC B C 二阶矩阵A 11 01 5 10 51 设，则 AB 12 40 34 120 314 ,()AB 815 360 设均为 3 阶矩阵，且，则 72 A B,AB 32AB 设均为 3 阶矩阵，且，则 3 A B,AB 13, 3 12 ()A B 若为正交矩阵，则 0 A a 1 01 a 矩阵的秩为 2 212 402 033 设是两个可逆矩阵，则AA 12 , AO OA 1 2 1 1 2 1 1 AO OA （三）解答题（每小题 8 分，共 48 分） 设，求；ABC 12 35 11 43 54 31 ,ABAC23ACAB5AB ()AB C 答案
5、：答案： 81 30 BA 40 66 CA 73 1617 32CA 012 2226 5BA 1223 77 AB 80151 2156 )(CAB 设，求ABC 121 012 103 211 114 321 002 ,ACBC 解解： 1022 1046 200 123 411 102 420 )(CBABCAC 已知，求满足方程中的AB 310 121 342 102 111 211 ,32AXBX 解解：32AXB 3 2 5 2 11 2 7 1 2 5 1 1 2 3 4 5117 252 238 2 1 )3( 2 1 BAX 写出 4 阶行列式 1020 1436 0253
6、 3110 中元素的代数余子式，并求其值aa 4142 , 答案答案： 0 352 634 020 ) 1( 14 41 a45 350 631 021 ) 1( 24 42 a 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ； ； 122 212 221 1234 2312 1111 1026 1000 1100 1110 1111 解：（1） 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 100 010 001 9 1 9 2 9 2 0 3 1 3 2 0 3 2 3 1 100 210 201 122 012 0 3 2 3 1 900 630 201 102 012 0
7、01 360 630 221 100 010 001 122 212 221 | 23 13 3 2 32 12 31 21 2 2 9 1 3 1 2 3 2 2 2 rr rr r r rr rr rr rr IA 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 1 A （2）(过程略) (3) 3514 1201 1320517 1726622 1 A 1100 0110 0011 0001 1 A 求矩阵的秩 1011011 1101100 1012101 2113201 4 解解： 0000000 0111000 1110110 1101101 0111000
8、 0111000 1110110 1101101 1221110 0111000 1110110 1101101 1023112 1012101 0011011 1101101 43 4241 31 21 2 rr rrrr rr rr 3)(AR （四）证明题（每小题 4 分，共 12 分） 对任意方阵，试证是对称矩阵AAA 证明：证明：) () (AAAAAAAA 是对称矩阵AA 若是阶方阵，且，试证或AnAAI A 11 证明证明： 是阶方阵，且AnAAI 1 2 IAAAAA 或A 11A 若是正交矩阵，试证也是正交矩阵AA 证明：证明： 是正交矩阵A AA 1 )()()( 111
9、AAAA 即是正交矩阵A 工程数学作业（第二次）(满分 100 分) 第 3 章 线性方程组 （一）单项选择题(每小题 2 分，共 16 分) 用消元法得的解为（C） xxx xx x 123 23 3 241 0 2 x x x 1 2 3 A. B. ,1 02,7 22 C. D. ,11 22,1122 线性方程组（B） xxx xx xx 123 13 23 232 6 334 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 向量组的秩为（A） 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 3 0 4 , A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 5 设向量组为，则（B
10、）是极大无关组 1234 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 , A. B. C. D. 12 , 123 , 124 ,1 与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）AA A. 秩秩 B. 秩秩( )A ()A( )A ()A C. 秩秩 D. 秩秩( )A ()A( )A ()A 1 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A） A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 以下结论正确的是（D） A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯
11、一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出 12 , s A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量 9设 A，为阶矩阵，既是又是的特征值，既是又是的属于的特征向量，则结论（）成立nx 是 AB 的特征值 是 A+B 的特征值 是 AB 的特征值 是 A+B 的属于的特征向量x 10设，为阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似n BAAB ABAB ) (BPAP 1 BPPA （二）填空题(每小题 2 分，共 16 分) 当 时，齐次线性方程组
12、有非零解 xx xx 12 12 0 0 向量组线性 相关 12 0 0 01 1 1, , 向量组的秩是 1 2 31 2 01 0 00 0 0, 设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有 无穷多 解，且 112233 0 xxx 123 0 系数列向量是线性 相关 的 123 , 向量组的极大线性无关组是 123 1 00 10 0, 21, 向量组的秩与矩阵的秩 相同 12 , s 12 , s 设线性方程组中有 5 个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 个AX 0( )A 3 设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为AXbX0AX 0XX 12 ,AXb 22110 XkXkX 9若是的特征值，则是方程的根0 AI 10若矩阵满足，则称为正交矩阵AA 1 （三）解答题(第 1 小题 9 分，其余每小题 11 分) 1用消元法解线性方程组 6 xxxx xxxx xxxx xxxx 1234 1234 1234 1234 326 3850 2412 432 解：解： 26121000 90392700 188710 48231901 84310 01850 188710 61
