中考数学专题复习(二)圆-修订编选

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1、专题二：圆 知识要点扫描归纳知识要点扫描归纳 一 圆的基本概念一 圆的基本概念 （1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。 （2）确定圆的条件； 已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆； 已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆； （3）点和圆的位置关系 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr； 点在圆上d=r； 点在圆内 dr； （4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的 距离叫做弦心距。 （5）弧：圆上任意两点

2、间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重 合的两条弧叫做等弧。 （7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心 是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。 二 圆中的重要定理二 圆中的重要定理 1垂径定理及其推论： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 推论 1：一条直线，如果具有过圆心；垂直于弦；平分弦（非直径） ；平分弦所对的劣弧；平分 弦所对的优弧这五个性质中的任何两个性质这条直线就具

3、有其余的三条性质 推论 2：圆的平行弦所夹的弧相等 2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论 在同圆或等圆中，四组量：两个圆心角；两条弧；两条弦；两条弦心距其中任一组量相等，则 其余三组量也分别相等即在同圆或等圆中： 圆心角相等 所对所对所对 弧相等弦相等弦心距相等 3圆周角 定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角 定理及推论 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是

4、直角三角形 推论 4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 三、直线和圆的位置关系：三、直线和圆的位置关系： 1直线和圆的位置关系的定义及有关概念 （1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图 1） ，这时直线叫圆的割线 （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图 2） 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点 （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图 3） 2直线和圆的位置关系性质和判定 如果O 的半径，圆心 O 割直线 的距离为，那么（1）直线 和O 相交（图rldldr 1） ；（2）直线 和O 相切（图 2） ；（3）直线

5、和O 相离（图 3） ldrldr 四、切线的判定和性质：四、切线的判定和性质： （一）切线的判定 1切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线 （二）切线的性质 1切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径； 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； l O 图 1 l O 图 2 l O 图 2 l O 图

6、1 d r l O 图 2 dr l O 图 3 d r （4）经过圆心垂直于切线的直线过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心 五、三角形的内切圆五、三角形的内切圆 1三角形的外接圆 过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形 的外心到各顶点的距离相等 2外心的位置 锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中 点，外接圆半径(C 为斜边长) 2 C R 3三角形的内切圆 到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角 形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，

7、内心都在三角形的内部若三角形的面积为，周长为 ABC S a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径 cba S r ABC 2 ba,c 或. cba ab r 2 cba r 4圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角 注意：圆内接平行四边形为矩形；圆内接梯形为等腰梯形 六、切线长定理：六、切线长定理： 1切线长概念： 在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的 R，叫做这点到圆的切线长 2切线长和切线的区别 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以

8、度量 3切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB 切O于 A、B 两点，PA=PBPO 平分APB 4两个结论： 圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长 七、弦切角定理： 七、弦切角定理： A A O A C A D A B A P A 1弦切角概念： 理解体弦切角要注意两点：角的顶点在圆上；角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端 点的一条射线 2弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说 ： 弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半 3弦切角定理的

9、推论： 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等 八 与比例线段相关的定理（了解）八 与比例线段相关的定理（了解） 1相交弦定理及其推论： （1）定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 如图，AB，CD 相交余 E，则 AEEB=CEDE （2） ，推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成 的两条线段的比例中项如上右图，有 AEEB=CE 成立 2 2，切割线定理及其推论 （1）定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项 如上左图，PT 切O,PAB 是O 的一条 割线，则有 PT =PAPB 成立 2 （2

10、）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长的积相等 如上右图，有 PAPB=PCPD 成立 九 圆中的相关计算九 圆中的相关计算 1 弧长公式 ： 半径为 R 的圆，其周长是，将圆周分成 360 份，每一份弧就是 1o的弧，1o弧的弧长R2 应是圆周长的，而为，因此，的弧的弧长就是，于是得到公式： 360 1 180360 2RR o n 180 Rn 。)( 180 代表弧长l Rn l 2 （1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图） 。 （2）扇形的周长： （3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形 OAB 的面积。

11、S扇形=)( 360 2 为扇形圆心角的度数为半径，nR Rn PA B C D P AB C D O P A B T O P A B C D ABAB lRlOBOA2 由上面两公式可知 S扇形=可据已知条件灵活选用公式。 2 1 3602 n R lR 3 弓形的面积 （1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-SOAB。 （2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+SOAB。 十两圆的位置关系：十两圆的位置关系： 1 圆与圆的位置关系1 圆与圆的位置关系 外 离外 离外 切外 切相 交相 交内 切内 切内 含内 含 图形 公共点0 个1 个2 个1 个0 个 d、 r、

12、R 的关系dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rd0 5533 133 44 xx yABBCACxx 33yx 8 (年山东日照年山东日照) （本题满分 10 分） （1）证明：AB 是O 的直径，ADB=90 ， 即 AD 是底边 BC 上的高 1 分 又AB=AC，ABC 是等腰三角形， D 是 BC 的中点； 3 分 (2) 证明：CBE 与CAD 是同弧所对的圆周角， CBE=CAD5 分 又 BCE=ACD， BECADC；6 分 （3）证明：由BECADC，知， BC CE AC CD 即 CDBC=ACCE 8 分 F Q A E D P C B D 是 BC 的中点，CD

13、=BC 2 1 又 AB=AC，CDBC=ACCE=BC BC=ABCE 2 1 即 BC =2ABCE10 分 2 9.(年江苏泰州)9.(年江苏泰州) .解：根据题意得：B 的坐标为（0，b） ，OA=OB=b，A 的坐标为（b，0） ，代入 ykxb 得 k1. 过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连结 OD. PC、PD 是O 的两条切线，CPD=90， OPD=OPC=CPD=45， 1 2 PDO=90， ，POD=OPD45， ODPD，OP=.510 P 在直线 yx4 上，设 P（m，m4） ，则 OF=m，PF=m4， PFO=90， OF2PF2PO2， m2 (m4)

14、2（）2，10 解得 m=1 或 3， P 的坐标为（1，3）或（3，1） (2)分两种情形，yx，或 yx。 1 2 5 4 1 2 5 4 直线将圆周分成两段弧长之比为 12， 可知ykxb 其所对圆心角为120，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC= ，又直线中直线与 x 轴交角的 5 2 ykxb 1 2 k 正切值为，即， AC=，进而可 得 AO=， 即 1 2 1 2 OC AC 5 5 2 直线与与 x 轴交于点 （， 0） 所以直线与 y 轴交于点（， 5 2 5 4 0） ，所以 b 的值为 5 4 当直线与 x 轴、y 轴的负半轴相交，同理可求得 b 的值为 5 4 综合

15、以上得：b 的值为或 5 4 5 4 10(年湖南湘潭年湖南湘潭)（本题满分 10 分） 解：（1）A（6，0） ，B（0，6） 1 分 连结 OC,由于AOB=90o，C 为 AB 的中点，则， ABOC 2 1 所以点 O 在C 上（没有说明不扣分） 过 C 点作 CEOA，垂足为 E，则 E 为 OA 中点,故点 C 的横坐标为 3 又点 C 在直线 y=x+6 上，故 C（3，3） 2 分 x y O A B C D E P 抛物线过点 O，所以 c=0, 又抛物线过点 A、C，所以，解得： 3 93 0 366 ab ab 1 ,2 3 ab 所以抛物线解析式为 3 分xxy2 3

16、1 2 （2）OA=OB=6 代入 OB2=OAOD，得 OD=6 4 分 所以 OD=OB=OA，DBA=90o 5 分 又点 B 在圆上，故 DB 为C 的切线 6 分 （通过证相似三角形得出亦可） （3）假设存在点 P 满足题意因 C 为 AB 中点,O 在圆上,故OCA=90o, 要使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为直角梯形， 则 CAP=90o或 COP=90o, 7 分 若CAP=90o,则 OCAP，因 OC 的方程为 y=x,设 AP 方程为 y=x+b 又 AP 过点 A（6，0） ，则 b=6, 8 分 方程 y=x6 与联立解得：， xxy2 3 1 2 1 1 6 0 x y 2 2 3 9