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1、专升本高等数学知识点汇总专升本高等数学知识点汇总 常用知识点：常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下：一、常见函数的定义域总结如下： （1）一般形式的定义域：xR cbxaxy bkxy 2 （2） 分式形式的定义域：x0 x k y （3） 根式的形式定义域：x0 xy （4） 对数形式的定义域：x0 xy a log 二、函数的性质二、函数的性质 1、函数的单调性 当时，恒有，在所在的区间上是增加的。 21 xx )()( 21 xfxf)(xf 21 xx， 当时，恒有，在所在的区间上是减少的。 21 xx )()( 21 xfxf)(xf 21 xx， 2、 函数的奇偶性 定义：设
2、函数的定义区间关于坐标原点对称（即若，则有）)(xfy DDxDx (1) 偶函数，恒有。)(xfDx)()(xfxf (2) 奇函数，恒有。)(xfDx)()(xfxf 三、基本初等函数三、基本初等函数 1、常数函数：，定义域是，图形是一条平行于轴的直线。cy ),(x 2、幂函数：， (是常数)。它的定义域随着的不同而不同。图形过原点。 u xy uu 3、指数函数 定义: ， (是常数且，).图形过（0,1）点。 x axfy)(a0a1a 4、对数函数 定义: ， (是常数且，)。图形过（1,0）点。xxfy a log)(a0a1a 5、三角函数 (1) 正弦函数: xysin ，
3、， 。2T),()(fD 1 , 1)(Df (2) 余弦函数: .xycos ， ， 。2T),()(fD 1 , 1)(Df (3) 正切函数: .xytan ， ， .T, 2 ) 12(,|)(ZRkkxxxfD ),()(Df (4) 余切函数: .xycot ， ， .T,|)(ZRkkxxxfD),()(Df 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: ，。xysinarc 1 , 1)(fD 2 , 2 )( Df (2) 反余弦函数: ，。 xyarccos 1 , 1)(fD, 0)(Df (3) 反正切函数: ，。xyarctan),()(fD) 2 , 2 ()( Df (4
4、) 反余切函数: ，。xyarccot),()(fD), 0()(Df 极限极限 一、求极限的方法一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。 ”因此遇到大部分 简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 二、函数极限的四则运算法则二、函数极限的四则运算法则 设， ，则Au x limBv x lim （1）BAvuvu xxx limlim)(lim （2）. ABvuvu xxx lim
5、lim)(lim 推论 （a)， (为常数)。vCvC xx lim)(limC （b） n x n x uu)lim(lim （3）， (). B A v u v u x x x lim lim lim0B （4）设为多项式， 则)(xP n nn axaxaxP 1 10 )()()(lim 0 0 xPxP xx （5）设均为多项式， 且， 则 )(),(xQxP0)(xQ )( )( )( )( lim 0 0 0 xQ xP xQ xP xx 三、等价无穷小三、等价无穷小 常用的等价无穷小量代换有：当时，0 xxx sinxx tanxx arctan ，。xx arcsinxx )
6、1ln( xe x 1 2 2 1 cos1xx 对这些等价无穷小量的代换， 应该更深一层地理解为 ： 当时， 其余类似。0 sin 四、两个重要极限四、两个重要极限 重要极限 I 。1 sin lim 0 x x x 它可以用下面更直观的结构式表示：1 sin lim 0 重要极限 II 。e x x x 1 1lim 其结构可以表示为：e 1 1lim 八、洛必达八、洛必达(LHospital)法则法则 “”型和“”型不定式，存在有（或） 。 0 0 A xg xf xg xf axax )( )( lim )( )( lim 一元函数微分学一元函数微分学 一、导数的定义一、导数的定义 设
7、函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点)(xfy 0 xx 0 xx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量。如果当xx 0 y)()( 00 xfxxfy 时，函数的增量与自变量的增量之比的极限0 xyx = 注意两个符号和在题目中可能换成其 0 lim x x y 0 lim x x xfxxf )()( 00 ）（ 0 x f x 0 x 他的符号表示。 二、求导公式二、求导公式 1、基本初等函数的导数公式 （1） (为常数) 0)(CC （2）（为任意常数） 1 )( xx （3） 特殊情况 aaa xx ln)() 1, 0(aa xx ee ) ( （4）， ax e
8、x x aa ln 1 log 1 )(log) 1, 0, 0(aax x x 1 )(ln （5） xxcos)(sin （6）xxsin)(cos （7） x x 2 cos 1 )(tan （8） x x 2 sin 1 )(cot （9） 2 1 1 )(arcsin x x ) 11(x （10）) 11( 1 1 )(arccos 2 x x x （11） 2 1 1 )(arctan x x （12） 2 1 1 )cot( x xarc 2、导数的四则运算公式 （1） )()( )()(xvxuxvxu （2）)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu （3）（为常数
9、） ukku k （4） )( )()()()( )( )( 2 xv xvxuxvxu xv xu 3、复合函数求导公式：设, ，且及都可导，则复合函数)(ufy )(xu)(uf)(x 的导数为。)(xfy)().( xuf dx du du dy dx dy 三、导数的应用三、导数的应用 1、函数的单调性 则在内严格单调增加。0)( xf)(xf),(ba 则在内严格单调减少。0)( xf)(xf),(ba 2、函数的极值 的点函数的驻点。设为0)( xf)(xf 0 x （1）若时，；时，则为的极大值点。 0 xx 0)( xf 0 xx 0)( xf)( 0 xf)(xf （2）若时
10、，；时，则为的极小值点。 0 xx 0)( xf 0 xx 0)( xf)( 0 xf)(xf （3）如果在的两侧的符号相同，那么不是极值点。)( xf 0 x)( 0 xf 3、曲线的凹凸性 ，则曲线在内是凹的。0)( xf)(xfy ),(ba ，则曲线在内是凸的。0)( xf)(xfy ),(ba 4、曲线的拐点 （1）当在的左、右两侧异号时，点为曲线的拐点，此时)( xf 0 x)(,( 00 xfx)(xfy .0)( 0 xf （2）当在的左、右两侧同号时，点不为曲线的拐点。)( xf 0 x)(,( 00 xfx)(xfy 5、函数的最大值与最小值 极值和端点的函数值中最大和最小
11、的就是最大值和最小值。 四、微分公式四、微分公式 ，求微分就是求导数。dxxfdy)( 一元函数积分学一元函数积分学 一、不定积分一、不定积分 1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C 的表达形式。公式可以用求导公 式来记忆。 2、不定积分的性质 （1）或)()( xfdxxf dxxfdxxfd)()( （2）或CxFdxxF )()( CxFxdF )()( （3）。 dxxxdxxfdxxxxf)()()()()()( （4）（为常数且） 。dxxfkdxxkf )()(k0k 2、基本积分公式（要求熟练记忆） （1） Cdx0 （2）.) 1( 1 1 1 aCx a d
12、xx aa （3）. Cxdx x ln 1 （4） Ca a dxa xx ln 1 ) 1, 0(aa （5） Cedxe xx （6）Cxxdxcossin （7） Cxxdxsincos （8）.Cxdx x tan cos 1 2 （9）. Cxdx x cot sin 1 2 （10）.Cxdx x arcsin 1 1 2 （11）.Cxdx x arctan 1 1 2 3、第一类换元积分法、第一类换元积分法 对不定微分，将被积表达式凑成dxxg )(dxxg)( ，这是关键的一步。)()()()()( xdxfdxxxfdxxg 常用的凑微分的公式有： （1）)()( 1 )
13、(baxdbaxf a dxbaxf （2）)()( 1 )( 1 baxdbaxf ka dxxbaxf kkkk （3）xdxfdx x xf2 1 )( （4） x d x fdx xx f 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 （5）)()()( xxxx edefdxeef （6）)(ln)(ln 1 )(lnxdxfdx x xf （7）)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf （8）)(cos)(cossin)(cosxdxfxdxxf （9）)(tan)(tan cos 1 )(tan 2 xdxfdx x xf （10）)(cot)(cot sin 1 )(cot
14、 2 xdxfdx x xf （11）)(arcsin)(arcsin 1 1 )(arcsin 2 xdxfdx x xf （12）)(arccos)(arccos 1 1 )(arccos 2 xdxfdx x xf （13）)(arctan)(arctan 1 1 )(arctan 2 xdxfdx x xf （14） )(ln )( )( xddx x x )0)(x 4、分部积分法 vduuvudv 二、定积分公式二、定积分公式 1、 （牛顿莱布尼茨公式）（牛顿莱布尼茨公式） 如果是连续函数在区间上的任意一个原函数，如果是连续函数在区间上的任意一个原函数，)(xF)(xf,ba 则有
15、。则有。)()()(aFbFdxxf b a 2、计算平面图形的面积 如 果 某 平 面 图 形 是 由 两 条 连 续 曲 线 及两条直线和所)(),( 21 xfyxgyax 1 bx 2 围成的 （其中是下面的曲线，是上面的曲线） ，则其 1 y 2 y 面积可由下式求出： .)()(dxxgxfS b a 3、计算旋转体的体积 设某立体是由连续曲线和直线及轴所围平)0)()(xfxfy)(,babxaxx 面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋x 转体的体积可由下式求出：V .)()( 22 dxxfdxxfV b a b a x 多元函数微分学多元函数微分学 1、 偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。 )(xfy )(xgy y a o b x o a x x+dx b x y )(xfy 2、全微分公式：。yBxAyxdfdz),( 3、复合函数的偏导数利用函数结构图 如果、在点处存在连续的偏导数 ， ，),(yxu),(yxv),(yx x u y u x v ，且在对应于的点处，函数存在连续的偏导数，则复 y v ),(yx),(vu),(vufz u z v z 合函数在点处存在对及的连续偏导数，且),
