《2020届高考数学一轮复习：课时作业25《解三角形应用举例》(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学一轮复习：课时作业25《解三角形应用举例》(含解析)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时作业25解三角形应用举例1(2019襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的(D)A北偏东10 B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：由条件及图可知，ACBA40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.2(2019许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与B的距离为(B)Aa km Ba kmCa km D2a km解析：由题图可知，ACB120，由余弦定理，
2、得AB2AC2BC22ACBCcosACBa2a22aa3a2，解得ABa(km)3如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于(D)A5 B15C5 D15解析：在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.4如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于A处测得水深AD80 m，于B处测得水深BE200 m，于C处测得水深CF110 m，则
3、DEF的余弦值为(A)A BC D解析：如图所示，作DMAC交BE于N，交CF于M，则DF10(m)，DE130(m)，EF150(m)在DEF中，由余弦定理，得cosDEF.5地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(B)A50 m,100 m B40 m,90 mC40 m,50 m D30 m,40 m解析：设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为.则tan，tan，根据三角函数的倍角公式有.因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮
4、塔塔顶的仰角为，由tan，tan，得.联立解得H90，h40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.6如图所示，一座建筑物AB的高为(3010)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为(B)A30 m B60 mC30 m D40 m解析：在RtABM中，AM20(m).过点A作ANCD于点N，如图所示易知MANAMB15，所以MAC301545.又AMC1801560105，所以ACM30.在AMC中，由正弦定理得，解得MC40(m)在RtCMD中，
5、CD40sin6060(m)，故通信塔CD的高为60 m.7(2019哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长100m.解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得，解得x100.8如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为900_m.解析：由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA在RtPAB中
6、，APABtan60900，故PQ900，P，Q两点间的距离为900 m.9(2019湖北百所重点中学模拟)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知为田几何”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21_平方千米解析：设在ABC中，a13里，b14里，c15里，cosC，sinC，故ABC的面积为1314500221(平方千米)10海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45的
7、方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120.由余弦定理得：(21x)2100(9x)22109xcos120，整理，得36x29x100，解得x或x(舍)所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时11(2019武汉模拟)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测如图所示，A，B，C三
8、地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，BAC60.在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30.(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC(已知声音的传播速度为340米/秒)解：(1)由题意，设ACx，因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，所以BCx340x40，在ABC内，由余弦定理得BC2CA2BA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420.答：A，C两地的距离为420米(2)在RtACH中，AC420，CAH30.所以CHACtanCAH140米答：该仪器的垂直弹
9、射高度CH为140米12如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离解：(1)依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cosPAB.同理，在PAC中，AC50，cosPAC.因为cosPABcosPAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于点D，在ADP中，由cosP
10、AD，得sinPAD，所以PDPAsinPAD314(km)故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km.13如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为(A)A7 km B8 kmC9 km D6 km解析：在ACD中，由余弦定理得：cosD.在ABC中，由余弦定理得：cosB.因为BD180，所以cosBcosD0，即0，解得AC7.14(2019呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图
11、所示的小区的面积是km2.解析：如图，连接AC，由余弦定理可知AC，故ACB90，CAB30，DACDCA15，ADC150，即AD，故S四边形ABCDSABCSADC12(km2)15(2019福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为22.6_m/s(精确到0.1)解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v.在RtADB
12、中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.16某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇如图所示则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.因为0v30，所以900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时
