《2020版江苏高考数学一轮复习学案：第72课《平行与垂直的综合应用》(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版江苏高考数学一轮复习学案：第72课《平行与垂直的综合应用》(含解析)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第72课平行与垂直的综合应用1. 掌握空间中线面平行，面面平行；线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理.2. 运用空间中线面平行，面面平行；线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理证明空间几何图形的平行与垂直关系.1. 阅读：必修2第3249页.2. 解悟：回忆线面平行与垂直的判定定理和性质定理；回忆面面平行与垂直的判定理和性质定理；结合上述定理的基本图形用文字及数学符号语言来叙述定理内容；用图表的形 已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB和PC的中点，则MN与平面PAD的位置关系为平行.解析：如图，取PD的中点E，连结AE，EN.因为E，N分别是PD，PC的中点，所以NECD且NECD
2、.因为M是AB的中点，所以AMCD，AMCD，所以ENAM，ENAM，所以四边形AMNE是平行四边形，所以MNAE.因为AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD，故MN与平面PAD的关系为平行.2. 已知直线l平面，直线m平面，下面有三个命题：lm；lm；lm.其中真命题的个数为2.解析：若，因为直线l平面，所以直线l平面.因为m，所以lm，故为真命题；当时，因为直线l平面，所以直线l平面或l，所以l与m可能相交或异面，故为假命题；因为lm，直线l平面，所以直线m平面.因为m，所以，故为真命题，故真命题的个数为2.3. 下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题：与两条平行线中一条
3、平行的平面必与另一条直线平行；与两条平行线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直；与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直；与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行；与两个平行平面中一个平面平行的直线与另一个平面平行；与两个平行平面中一个平面垂直的直线必与另一个平面垂直；与两个垂直平面中一个平面平行的直线必与另一个平面垂直；与两个垂直平面中一个平面垂直的直线必与另一个平面平行.其中正确的命题的序号是.解析：依题意，作长方体ABCDA1B1C1D1的图形如下：对于，由图可知，ABCD，AB平面DCC1D1，但CD平面DCC1D1，故错误；对于，由线面垂直的性质定理得与两条平行直线中一
4、条垂直的平面与另一条直线垂直，故正确；对于，由图可知，ADCD，CD平面A1B1C1D1，但AD平面A1B1C1D1，故错误；对于，由图可知，ADCD，AD平面D1C1CD，但CD平面D1C1CD，故错误；对于，与两个平行平面中一个平面平行的直线，可能在另一个平面或与另一个平面平行，故错误；对于，由面面平行的性质得，与两个平行平面中一个平面垂直的直线必与另一个平面垂直，故正确；对于，由图可知，平面DCC1D1平面ABCD，AB平面DCC1D1，但AB平面ABCD，故错误；对于，由图可知，平面DCC1D1平面ABCD，AD平面DCC1D1，但AD平面ABCD，故错误.故正确命题的序号为.4. 设
5、、是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直线，则m的一个充分条件为.，l，ml；n，n，m；m，；m，.解析：因为，l，ml.若m，则m与平面不垂直，故错误；因为n，m，所以mn.因为n，所以m，故正确；因为m，所以由直线与平面垂直的判定定理得m，故正确；因为m，所以m与平行或m或m与相交，故错误，故填.范例导航考向 线面、面面平行与垂直关系的相互转化例1如图，已知在空间四边形ABCD中，BCAC，ADBD，E是AB的中点.(1) 求证：AB平面CDE；(2) 求证：平面CDE平面ABC；(3) 若G为ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF平面CDE，并给出证明.解析：(1) 因为
6、BCAC，E为AB的中点，所以ABCE.因为ADBD，E为AB的中点，所以ABDE.因为CEDEE，CE，DE平面CDE，所以AB平面CDE.(2) 由(1)知AB平面CDE，因为AB平面ABC，所以平面CDE平面ABC.(3) 当AF2FE时，GF平面CDE.证明如下：取DC的中点H，连结AH，EH，FG.因为G为ADC的重心，所以点G在AH上，且AG2GH.因为AF2FE，所以FGEH.因为FG平面CDE，EH平面CDE，所以GF平面CDE.如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是A60，边长为a的菱形，PD底面ABCD，且PDCD，M，N分别是棱AD，PC的中点.(1) 证明：DN
7、平面PMB；(2) 证明：平面PMB平面PAD；(3) 求点A到平面PMB的距离.解析：(1) 取PB的中点Q，连结MQ，NQ.因为Q，N分别是棱PB，PC的中点，所以QNBC，且QNBC.因为M是AD的中点，所以MDBC，且MDBC，所以MDQN且MDQN，所以四边形MDNQ是平行四边形.因为MQ平面PMB，DN平面PMB，所以DN平面PMB.(2) 因为PD底面ABCD，MB平面ABCD，所以PDMB.因为底面ABCD是A60，边长为a的菱形，且M为AD的中点，所以MBAD.又ADPDD，AD，PD平面PAD，所以MB平面PAD.因为MB平面PMB，所以平面PMB平面PAD.(3) 因为M
8、是AD的中点，所以点A与点D到平面PMB的距离相等.过点D作DHPM，垂足为H.由(2)知平面PMB平面PAD.因为平面PMB平面PADPM，所以DH平面PMB，故DH是点D到平面PMB的距离，在RtPDM中，DHa，所以点A到平面PMB的距离为a.考向 垂直关系与线面角的探求例2如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1) 证明：AC平面BCDE；(2) 求直线AE与平面ABC所成角的正切值.解析：(1) 连结BD.由DEBE1，CD2，得BDBC.因为AC，AB2，所以AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，且
9、平面ABC平面BCDEBC，所以AC平面BCDE.(2) 在直角梯形BCDE中，由BDBC，DC2，得BDBC.又平面ABC平面BCDE，且平面ABC平面BCDEBC，所以BD平面ABC.作EFBD交CB的延长线于点F，连结AF，则EF平面ABC，所以EAF是直线AE与平面ABC所成的角，且EFAF.在RtBEF中，因为EB1，EBF45，所以EFBF.在RtAFC中，AC，FC，所以AF，在RtAEF中，所以tanEAF.如图，已知在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(0<<1).(1) 求证：不论为何值，恒有平面BE
10、F平面ABC；(2) 当为何值时，平面BEF平面ACD？解析：(1) 因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD.因为CDBC，且ABBCB，AB，BC平面ABC，所以CD平面ABC.又(0<<1)，所以不论为何值，恒有EFCD，所以EF平面ABC.又EF平面BEF，所以不论为何值，恒有平面BEF平面ABC.(2) 由(1)知EFBE，又平面BEF平面ACD，平面BEF平面ACDEF，BE平面BEF，所以BE平面ACD，所以BEAC.因为BCCD1，BCD90，ADB60，AB平面BCD，所以BD，ABtan 60，所以AC.在RtABC中，由AB2AEAC得AE，所以，故当
11、时，平面BEF平面ACD.自测反馈1. 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的必要不充分条件.解析：当，且m在平面内时，m与可能相交也可能平行，故充分性不成立；当m，m时，由面面垂直判定定理可得，故必要性成立，故“”是“m”的必要不充分条件.2. 设和为两个不重合的平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与垂直的等价条件是l与内的两条直线垂直.其中真命题的序号是.解析：由平面与平面平行的判定定理可得正确；由直线与平面平行的判定定理可得
12、正确；内两直线互相垂直，不能推得两平面互相垂直，故错误；直线l与垂直的等价条件是l与内的两条相交直线垂直，故错误.故填.3. 如图，平面ABC平面BCD，BACBDC90，且ABACa，则ADa.解析：取BC的中点E，连结AE，DE.因为ABACa，所以AEBC.又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，所以AE平面BCD.因为DE平面BCD，所以AEDE.计算得BCa，AEa，DEBCa，所以ADa.1. 线面、面面的平行和垂直关系的相互转化，常常能帮助探究定向.如，例1. 2. 当题设条件中给定一些数量关系(长度)时，往往要先通过计算，确定各个面的形状，进而发现其中的位置关系(垂直、平行、中点等).如，例2.3. 你还有哪些体悟，请写下来：
