《2020版江苏高考数学一轮复习学案：第73课《柱、锥、台、球的表面积与体积》(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版江苏高考数学一轮复习学案：第73课《柱、锥、台、球的表面积与体积》(含解析)（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第73课柱、锥、台、球的表面积和体积1. 掌握柱、锥、台、球的结构特征以及表面积和体积的计算公式.2. 能求简单几何体的表面积和体积.1. 阅读：必修2第5365页.2. 解悟：研读直棱柱、正棱锥、正棱台的定义；教材第53页中的直棱柱、正棱锥和第54页中圆柱、圆锥、圆台都是用侧面展开图的方法推导侧面积公式的，你在解题中能运用这些方法吗？教材第59页例1中的几何体的体积是通过正六棱柱与圆柱体的体积之差计算面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为.解析：因为圆锥的底面积为，所以圆锥底面的半径为1，所以其底面的周长为2.因为圆锥的侧面积为2，所以2l2，解得l2，所以圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为，故
2、该圆锥的体积为.2. 如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是.解析：由题意知该多面体为正四棱锥，如图所示，底面边长为1，侧棱长为1，斜高SE，连结顶点和底面的中心即为高，所以SO，所以体积为11，故该多面体的体积为.3. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为17.解析：由题意知该正四棱柱的外接球的直径就是正四棱柱的对角线的长，所以球的直径为，所以球的表面积为417.4. 已知某四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体体积的最大值为.解析：如图所示，在四面体ABCD中，若ABBCCDACBDa，
3、ADx，取AD的中点P，BC的中点E，连结BP，EP，CP.易证AD平面BPC，所以VABCDSBPCADaxaa，当且仅当x2，即xa时取等号，所以该四面体体积的最大值为.范例导航考向 用侧面展开图的方法，将空间问题化归为平面问题例1如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为10.解析：方法一：将两个正三棱柱都沿AA1剪开后展开，如图1，则最短路线长为l10.方法二：将正三棱柱侧面展开如图2所示，设该质点绕三棱柱侧面一周时交AA1于点M，则第一周的最短路线为AM，第二周的最短路线为MA1，所求最短路线的长即
4、求AMA1M的最小值，如图2，取点A关于A的对称点A，连结AA1，交AA1于点M0，连结AM，由三角形的三边不等关系知A1MAMA1A10. 图1 图2已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为4，母线AB12，从AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.(1) 求绳子的最短长度；(2) 求当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解析：(1) 将圆台补形成圆锥，并将圆锥侧面展开成如图所示的扇形.取A1B1的中点M1，AM1就是绳子的最短长度.设ASA1，则2，8.得90.将90代入，解得SB4.在ASM1中，SA16，SM14610，ASA190，所以AM102162356，所以AM12，
5、即绳子的最短长度为2.(2) 过点S作SQAM1，交于点P，交AM1于点Q，则PQ的长度即为所求.在RtASM1中，SQ.PQSQSP4，所以当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为4. 考向 折叠问题中线面关系、数量关系的变与不变，等体积法求锥体体积例2如图1所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2所示.(1) 求证：BE平面ADF；(2) 求三棱锥FBCE的体积.图1图2解析：(1) 方法一：取DF的中点G，连结AG，EG.易证四边形ABEG为平行四边形，所以BEAG.因为
6、BE平面ADF，AG平面ADF，所以BE平面ADF.方法二：由题意得BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变.因为BCAD，BC平面ADF，AD平面ADF，所以BC平面ADF.同理CE平面ADF.因为BCCEC，BC，CE平面BCE，所以平面BCE平面ADF.因为BE平面BCE，BE平面ADF，所以BE平面ADF.(2) 方法一：因为平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，BCCD，所以BC平面DCEF.因为DCCE1，所以SCEFCEDC，所以VFBCEVBCEFBCSCEF.方法二：由题意得CDBC，CDCE，BCCEC，BC，CE平面BCE，所以CD平面
7、BCE.因为DFCE，所以点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离，距离为1，因为BCCE1，SBCEBCCE，所以VFBCECDSBCE.方法三：如图，过点E作EHFC，垂足为H，由图可知BCCD.因为平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BCDC，BC平面ABCD，所以BC平面DCEF.因为EH平面DCEF，所以BCEH.因为FCBCC，FC，BC平面FBC，所以EH平面BCF.因为BCFC，FC，所以SBCFBCCF.在CEF中，由等面积法可得EH，所以VFBCEVEBCFEHSBCF.如图，已知在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC
8、平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则这个多面体的体积为4.解析：方法一：如图1，将所求多面体补成一个正方体，而所求多面体的体积是正方体体积的一半，所以VABCDEFGV正方体2224.方法二：如图2，连结BD，BG，则VABCDEFGVBADGCVBEFGDS梯形ADGCABS梯形EFGDBE(12)22(12)22224.图1图2自测反馈1. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm，AA12cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为6cm3.解析：如图，连结AC交BD于点O，则ACBD.因为D1DAC，BDD1DD，所以AC平面BDD1B1，所以AO是四
9、棱锥ABB1D1D的高.因为AOAC，S矩形B1BDD1236，所以VABB1D1D66.2. 如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2124.解析：设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S.因为D，E，F分别是AB，AC，A1A的中点，所以AEDACB，AFAA1，所以SAEDSABC，则V1ShSh，V2Sh，所以.3. 已知圆台的母线长为4cm，母线与轴的夹角为30，上底面半径是下底面半径的，则这个圆台的侧面积是24cm2.解析：如图是将圆台还原为圆锥
10、后的轴截面.由题意知AC4cm，ASO30，O1COA.设O1Cr，则OA2r.因为sin30，所以SC2r，SA4r，所以ACSASC2r4，解得r2，所以圆台的侧面积为(r2r)4(24)424.4. 已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为.解析：因为正三棱锥的底面边长为2，所以底面正三角形的高为2，所以底面中心到三角形顶点的距离为.因为正三棱锥的侧棱长为，所以正三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为22.5. 如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，其中BAC30，求该几何体的体积.解析：过点C作CDAB，垂足为D，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，所以ACR，BCR，CDR，所以ADR，所以BD2RR，所以V球R3，V圆锥ADRR3，V圆锥BDR3，所以V几何体R3R3R3R3.1. 用侧面展开图的方法解决相关问题，是空间问题平面化思想的应用.关键是要搞清楚展开图第5题的组合几何体，“割补法”是解决此类问题的常用方法.2. 处理折叠问题，如例2中，折痕CD左右两部分仍是平面图形，其中的数量关系、位置关系没有变化，而两部分元素之间的平行、垂直等位置关系和相互间的数量关系.3. 你还有哪些体悟，请写下来：
