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1、.,1,利用导数探究 函数的零点问题专题讲座,深圳市民办学校高中数学教师 欧阳文丰,.,2,(2014年全国卷）已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围？,.,3,函数零点是新课标教材的新增内容之一,纵观近几年全国各地的高考试题,经常出现一些与零点有关的问题,它可以以选择题、填空题的形式出现，也可以在解答题中与其它知识交汇后闪亮登场，可以说“零点”成为了高考新的热点和亮点.,.,4,函数与方程,函数与图像,.,5,结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标。,等价关系：,方程f(x)=0有实数根,.,6,唯一,零点的存在性定理,
2、.,7,等价关系,除了用判定定理外，你还想到什么方法呢？,.,8,导数在函数零点问题上的应用,导数的应用,数形结合,零数,零位,参数范围,研究两条曲线的交点个数的基本方法 (1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图形交点个数得出答案. (2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.,1、三次函数的图象四种类型,2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，因此只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1x2的函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的零点分布情况如下：,.,12,例1： 函数f
3、(x)=x3-3x2 +a(aR)的零点个数.,例题选讲,一、三次函数的零点问题,.,13,函数f(x)=x3-3x2 +a(aR)的零点个数.,几何画板演示,.,14,函数f(x)=x3-3x2 +a(aR)的零点个数.,几何画板演示,.,15,已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围.,巩固练习1,.,16,.,17,几何画板演示,巩固练习2,当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：,所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值. 当g(0)t30，即t3时，此时g(x)在区间(，1和1，)上分别至多有1个零点，所以g(
4、x)至多有2个零点. 当g(1)t10，即t1时，此时g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.,当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分别在区间1，0)，0，1)和1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调， 所以g(x)分别在区间(，0)和1，)上恰有1个零点. 综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1). 探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他
5、条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t).,巩固练习3,(2)证明由(1)知，f(x)x33x2x2. 设g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4. 由题设知1k0. 当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10，g(0)4，所以g(x)0在(，0有唯一实根. 当x0时，令h(x)x33x24， 则g(x)h(x)(1k)xh(x). h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0. 所以g(x)0在(0，)没有实根. 综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交
6、点.,探究提高研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.,.,24,例题选讲,二、非三次函数的零点问题,.,25,几何画板演示,.,26,附：非三次函数的零点问题也是通过导数求极值来画出其图象，采用类似于三次函数的方法探究零点。,例题选讲,f(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：,探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点
7、； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.,.,31,1、已知函数f(x)=x3-3ax -1, a0 (1) 求f(x)的单调区间； (2) 若f(x)在x= -1处取得极值，直线 y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围,课后测试,.,32,.,33,几何画板演示,.,38,解:(1)设曲线y=f(x)与x轴切于点 ,则 ,即 解得 当 时,x轴是y=f(x)的切线.,3.已知函数 , g(x)=-lnx (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线 (2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数 h(x)=min
8、f(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,(2)当x1时,g(x)=-lnx0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0 故h(x)在 无零点.,当x=1时,若 ,则f(1)= h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,x=1是h(x)的一个零点 若 ,则h(1)=f(1)0,h(x)无零点.,.,39,当00无零点,只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数. ()当a0时, ,f(x)在(0,1)单调递增且f(0)0 故f(x)(0,1)上无零点. ()当a-3时, , f(x)在(0,1)单调递减 且 ,f(x)在(0,1)内仅有一个零点.,()当-3a0时,f(x)在 上单调递减,在 上单调递增 故f(x)在(0,1)上的最小值为,a)若 ,即 时,f(x)在(0,1)上无零点,b)若 ,即 时,f(x)在(0,1)上有一个零点,.,40,c)当 ,即 时,综上所述:当 或 时,h(x)有一个零点。 当 或 时,h(x)有两个零点。 当 时,h(x)有三个零点。,故当 ,f(1)0,f(x)在(0,1)内有两个零点,当 时,f(1)0,f(x)在(0,1)内有一个零点.,.,41,真 题 感 悟,
