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1、第 1 页，共 18 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 复数 = (1 + )(2)(为虚数单位)，则| = () A. 2B. 1C. 5D. 10 2. 双曲线222= 2的焦点坐标为() A. ( 1,0)B. ( 3,0)C. (0, 1)D. (0, 3) 3. 若变量 x，y 满足约束条件 3, + 3 0, + 1 0,则2的最小值是() A. 3B. 5C. 3D. 5 4. 设 a， ，命题 p： ，命题 q：| |，则 p 是 q 的() A. 充分不必要条件B. 必要不充分
2、条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数() = |2| + |，() = 32，下列描述正确的是() A. ()是奇函数 B. ()是偶函数 C. ()既是奇函数又是偶函数 D. ()既不是奇函数也不是偶函数 6. 某锥体的三视图如图所示(单位：)，则该锥体的体积(单位：3)是() 第 2 页，共 18 页 A. 1 3 B. 1 2 C. 1 6 D. 1 7. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有 1 个红球，乙盒子里有 3 个红球和 3 个黑球，现从 乙盒子里随机取出(1 6, )个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取 一球，记取到的红球个数为个，则随着(1 6, )的
3、增加，下列说法正 确的是() A. 增加，增加B. 增加，减小 C. 减小，增加D. 减小，减小 8. 已知函数() = lg(2| + 1)，若函数()在开区间(, + 1)( )上恒有最小 值，则实数 t 的取值范围为() A. ( 3 2, 1 2) ( 1 2, 1 2) B. ( 3 2, 1 2) C. ( 1 2, 1 2) D. 3 2, 1 2 9. 如图 1， 是以 B 为直角顶点的等腰 ，T 为线段 AC 的中点，G 是 BC 的 中点， 与 分别是以 AB、BC 为底边的等边三角形，现将 与 分别沿 AB 与 BC 向上折起(如图2)， 则在翻折的过程中下列结论可能正确
4、的 个数为() (1)直线 直线 BC (2)直线 直线 AE (3)平面/平面 FGT (4)直线/直线 AE 第 3 页，共 18 页 A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 10.已知二次函数() = 2+ + 2019图象上有三点(1,(1)，(,()， ( + 1,( + 1)( )，则当 m 在实数范围内逐渐增加时， 面积的变 化情况是() A. 逐渐增加B. 先减小后增加C. 先增加后减小D. 保持不变 二、填空题（本大题共 7 小题，共 34.0 分） 11.设集合 = |0 2， = | 1，且2+4=20，3=8 第 5 页，共 18 页 (1)求数列，的通项公式
5、； (2)若数列满足= 4，且数列的前 n 项和为，求证 ： 数列 的前 n 项和 0，2 2即有| |； 若 0 ，显然有| |； 若0 ，则2 |，故 可以推出| | 若| |，当 ； 如果 2，因而 ； 当 0时， 0，此时有2 2， 因而 ，故| |可以推出 故选：C 根据充分、必要条件的定义以及不等式的性质即可判断 本题主要考查充分条件、必要条件的判断，涉及到分类讨论思想的应用，属于中档题 5.【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，分析()、()的奇偶性，进而可得() = ()，由函数奇偶性的 定义分析可得答案 本题考查函数的奇偶性的判定，注意函数奇偶性的定义，属于基础题 【解答
6、】 解：根据题意，函数() = |2| + |，() = |2| + |= |2| + |= ()，即函数()为偶函数， () = 32，() = 3() = 3 = ()，即函数()为奇函数， 对于函数()，有() = ()，即函数()为偶函数， 故选：B 6.【答案】A 【解析】解：由题意可知三棱锥的直观图如图： 三棱锥的体积为： 1 3 1 2 2 1 1 = 1 3 第 9 页，共 18 页 故选：A 根据三视图知该几何体是底面为俯视图三角形，高为 1 的直三棱锥，结合图中数据求得 三棱锥的体积 本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题 7.【答案】C 【解析】解：依题意，
7、从乙盒子里随机取出 n 个球，含有红球个数 X 服从超几何分布， 即(6,3，)， 其中( = ) = 3 3 6 ，其中 ， 3且 ， = 3 6 = 2， 故从甲盒中取球， 相当于从含有 2+1个红球的 + 1个球中取一球， 取到红球个数为个， 故( = 1) = 2+ 1 + 1 = 1 2+ 1 2 + 2， 随机变量服从两点分布，所以 = ( = 1) = 1 2+ 1 2 + 2，随着 n 的增大，减小； = 1( = 1) = 1 2 1 2 + 2，随着 n 的增大，增大； 故选：C 依题意，从乙盒子里随机取出 n 个球，含有红球个数 X 服从超几何分布，即(6,3， )，故
8、E = 2，再从乙盒子里随机取出 n 个球，含有红球个数 X 服从超几何分布，即 (6,3，)，服从两点分布，所以 = ( = 1) = 1 2+ 1 2 + 2，随着 n 的增大，减 小； = 1( = 1) = 1 2 1 2 + 2，随着 n 的增大，增大； 本题考查了超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查了推理能力计算能力，属 于难题 8.【答案】A 【解析】解： = 在(0, + )单调 递增， 函数() = lg(2| + 1)在开区间 (, + 1)( )上恒有最小值， 等价于() = 2| + 1在开区间 (, + 1)( )上恒有最小值， 第 10 页，共 18 页 (
9、) = 2 + 1, 0 2+ + 1, 1 2 1 2 1 2 ， 解得 1 2 t 1 2或 3 2 1 2， 故选：A = 在(0, + )单调递增， 函数() = lg(2| + 1)在开区间(, + 1)( )上恒 有最小值，等价于() = 2| + 1在开区间(, + 1)( )上恒有最小值，进而求 解 考查复合函数的单调性，含有绝对值的二次函数的最小值，在不定区间上的最小值的确 定 9.【答案】C 【解析】解：(1)正确；在将 沿着 AB 向上折起时，能使得 ，又因为 ，此时有 面 ABE，则直线 直线 BC (2)正确；在将 与 分别沿 AB 与 BC 向上折起时，使得 BE
10、与 BF 重合， 则2+2= 2+2， 又 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以2+2= 2， 所以2+2= 2 直线 直线 AE (3)正确；因为 T，G 分别是线段 AC，BC 中点，所以连接 TG，得/ 又因为 ， 所以 又因为 是等边三角形， 所以 所以在折叠过程中 面 FTG， 在将 沿着 AB 向上折起时，能使得 ，又因为 ，此时有 面 ABE， 垂直于同一条直线的两个平面/面 FGT (4)错误；当直线 BC 与直线 AE 在同一平面时， = 90，而 = 60， 第 11 页，共 18 页 ，此时不会平行 若在折起过程中直线 BC 与直线 AE 异面，此时也不会平行 故
11、选：C (1)在将 沿着 AB 向上折起时，能使得 ，又因为 ，此时有 面 ABE，则直线 直线 BC (2)在将 与 分别沿 AB 与 BC 向上折起时，使得 BE 与 BF 重合，直线 直线 AE (3)因为 T，G 分别是线段 AC，BC 中点，所以连接 TG，得/，所以在折叠过程 中 面 FTG 在将 沿着 AB 向上折起时，能使得 ，又因为 ，此时有 面 ABE，垂直于同一条直线的两个平面/面 FGT (4)当直线 BC 与直线 AE 在同一平面时，此时不会平行；若在折起过程中直线 BC 与直 线 AE 异面，此时也不会平行 本题注重考查的是线面位置关系的判定，需要熟悉定理的前提下才
12、能完成，属于中档 题 10.【答案】D 【解析】解：如图所示， 当 m 在实数范围内逐渐增加时， 面积 = 梯形11梯形11 梯形11 = ( + 1) + (1) 2 2(1) + () 2 1() + ( + 1) 2 1 = ( + 1) + (1)2() 2 = ( + 1)2+ ( + 1) + 2019 + (1)2+ (1) + 20192(2+ + 2019) 2 = 1 保持不变 故选：D 如图所示，当 m 在实数范围内逐渐增加时， 面积 = 梯形11梯形11 梯形11，代入计算即可得出结论 本题考查了二次函数的性质、 三角形与梯形面积计算公式， 考查了推理能力与计算能力，
13、第 12 页，共 18 页 属于中档题 11.【答案】|0 1 |1 0 【解析】解： = |0 2， = |1 1， = |0 1， = | 0或 2， () = |1 0 故答案为：|0 1，|1 0 可以求出集合 B，然后进行交集、补集的运算即可 考查描述法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集和补集的运算 12.【答案】 2 3 10 【解析】解：( + 1 )(2 + 1) 5中，令 = 1，得( + 1) 35= 81，解得 = 2 3； 所以( 2 3 + 1 ) (2 + 1) 5= (2 3 + 1 ) (1 + 10 + )， 其展开式中的常数项为 1 10 = 10 故答案
14、为：10 在( + 1 )(2 + 1) 5中令 = 1求得 a 的值，再根据多项式乘积的特点求出展开式中的 常数项 本题考查了二项式展开式定理的应用问题，是基础题 13.【答案】(3,0) 39 13 【解析】解： 直线 l 的方程为 + 3 = 0，得(3) + = 0； 3 = 0 = 0 ， = 3， = 0； 直线 l 恒过定点(3,0) 圆 C：2+ 22 = 0的圆心(1,0)，半径 = 1， 圆心(1,0)到直线 l： + 3 = 0的距离 = |3| 2+ 1， 直线 l 与圆 C：2+ 24 = 0交于 A，B 两点， 为等边三角形， | = 1 = ， = 3 2 ；故
15、3 2 = |2| 2+ 1； 解得 = 39 13 第 13 页，共 18 页 故答案为：(3,0)， 39 13 令参数的系数等于零，求得 x、y 的值，可得定点的坐标由圆 C：2+ 22 = 0知， 圆心(1,0)，半径 = 1，圆心(1,0)到直线 l 的距离 = 3 2 ，由 为等边三角形， 得| = 1，由此能求出的值 本题主要考查经过定点的直线，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题 14.【答案】32 ( + 1)(9 + 20) 2 【解析】解：数列满足1= 1， + 1= 3( )， 是首项为 1，公差为 3 的等差数列， = 1 + (1) 3 = 32， 3 + 1是首项为 10，公差为 9 的等差数列， 4+7+10+ +3 + 4= 10( + 1) + ( + 1) 2 9 = ( + 1)(9 + 20) 2 故答案为：32， ( + 1)(9 + 20) 2 推导出是首项为 1，公差为 3 的等差数列，由此能求出，推导出3 + 1是首项为 10，公差为 9 的等差数列，由此能求出4+7+10+ +3 + 4 本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和的求法，考查等差数列的性质
