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1、第 1 页，共 17 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分） 1. 若函数() = sin( + )是偶函数，则的一个值是() A. 0B. 2 C. D. 2 2. 设 ，则“25 0”是“|1| 0)，若存在0 ，满足|(0)| 1 2019，则称0为函数()的一个“近似整零点”，若()有四个不同的“近似整零 点”，则 a 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分） 17.如图， 在 中， = 6， 斜边 = 4， D 是 AB 的中点 现将 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一 个
2、圆锥，点 C 为圆锥底面圆周上的一点，且 = 2 (1)求该圆锥的全面积； (2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) 第 3 页，共 17 页 18.在 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 + = 2， 5 = 7 (1)求 cosB 的值； (2)设() = sin( + )，解不等式() 1 2 19.某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工 2m 人 (60 0)，左顶点为 (4,0)，经过点(2,3)，过 点 A 作斜率为( 0)的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E (1)求椭圆 C 的方程；
3、(2)已知 P 为 AD 的中点，(3,0)，证明：对于任意的( 0)都有 恒成 立； (3)若过点作直线的平行线交椭圆 C 于点 M，求 | + | | 的最小值 21.设数列和的项数均为 m，则将两个数列的偏差距离定义为,，其 中, = |11| + |22| + + |. (1)求数列 1，2，7，8 和数列 2，3，5，6 的偏差距离； (2)设 A 为满足递推关系 + 1= 1 + 1的所有数列的集合，和为 A 中的 两个元素，且项数均为 m，若1= 2，1= 3，和的偏差距离小于 2020，求 m 最大值； (3)记 S 是所有 8 项数列|1 8,= 0或1的集合， ，且 T 中
4、任何两个 元素的偏差距离大于或等于 4，证明：T 中的元素个数小于或等于 16 第 5 页，共 17 页 第 6 页，共 17 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解： 函数() = sin( + )是偶函数， () = ()，即sin( + ) = sin( + )， ( + ) = + + 2或 + + + = + 2， ， 当( + ) = + + 2时，可得 = ，不满足函数定义； 当 + + + = + 2时， = + 2， ， 结合选项可得 B 为正确答案 故选：B 由函数的奇偶性可得的取值范围，结合选项验证可得 本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，属基础题 2.
5、【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题 根据充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果 【解答】 解： 25 0， 0 5， |1| 1， 0 2， 0 5推不出0 2， 0 20 5， 0 5是0 2的必要不充分条件， 即25 0是|1| 1的必要不充分条件 故选：B 3.【答案】C 【解析】解 ： 椭圆的参数方程为 = 2 = sin ， 0,2)，整理为直角坐标方程为 2 4 + 2 = 1， 所以焦点的坐标为( 3,0). 第 7 页，共 17 页 故选：C 直接利用参数方程和直角坐标方程之间的转换，求出椭圆的直角坐标方程，进一步求出 焦点
6、的坐标 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，椭圆的方程的 性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 4.【答案】D 【解析】解：由数列的构造方法可知1= 1，3= 2，7= 4，15= 8，可得： 21= 21， 所以数21首次出现于第21项， 所以当 = 21 + (1 21)时，有=(1 21)， 故2019=996=485=230=103=40=9=2= 1， 故选：D 由数列的构造方法找出规律21= 21，再结合数列重复出现，找出相等两项间隔 21项，从而算出2019的值 本题主要考查了利用归纳推理求数列项的值，求解时敏锐发现数列
7、排列规律是关键，是 中档题 5.【答案】|1 1 【解析】解：由21 0得 1或 1， 即 = | 1或 1， 则 = |1 1， 故答案为：|1 1 根据函数成立的条件求出函数的定义域，结合集合补集的定义进行求解即可 本题主要考查集合的基本运算， 结合函数成立的条件求出函数的定义域是解决本题的关 键比较基础 6.【答案】5 5 【解析】解： 1= 1 + 2，2= 3 + 4， 12= (1 + 2)(3 + 4) = 5 + 10， |12| = |5 + 10| =(5)2+ 102= 5 5 故答案为：5 5 第 8 页，共 17 页 利用复数代数形式的乘除运算求解12，再由复数的模的
8、计算公式求解 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 7.【答案】32 【解析】解：在二项式(3 3 1 ) 5中，取 = 1，即可得到展开式的系数和为(31)5 = 32 故答案为：32 直接在给出的二项式中取 = 1，即可求得展开式的系数和 本题考查二项式定理的应用，通过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的 求出答案，是基础题 8.【答案】 2 9 2 16 = 1 【解析】解：由题意可得 = 5，即2+ 2= 25， 由一条渐近线是34 = 0， 双曲线 2 2 2 2 = 1的渐近线方程为 = 0， 可得 = 4 3， 解得 = 3， = 4， 则双曲
9、线的方程为 2 9 2 16 = 1 故答案为： 2 9 2 16 = 1 可得 = 5，运用双曲线的 a，b，c 的关系，以及渐近线方程，可得 a，b 的关系，解方 程可得 a，b，即可得到所求双曲线的方程 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基 础题 9.【答案】2 【解析】解 ： 若是等差数列的前 n 项和，1= 1， = 4，则= + 4 (1) 2 = 2 2， 故 2+ 1 = 22 2+ 1 = 2 故答案为：2 第 9 页，共 17 页 直接利用等差数列的求和公式的应用和极限的关系式的应用求出结果 本题考查的知识要点：等差数列的求和公式的应
10、用，极限的应用，主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10.【答案】1 【解析】解：由题意得，即求(4)的值 () = 3( 4 +2)， (4) =log3(1 + 2) = 1， (4) = 1 即所求的解 = 1 故答案为 1 根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1() = 4的 x 值，即求(4)的值 本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题 11.【答案】13 【解析】解：原式 = 512 =52+ 122sin( + ) = 13( + )， 所以当 + = 2+2, 时，行列式的最大值为 13 故答案为：13 先写出
11、行列式结果，再用三角函数知识求解最大值 本题考查行列式与三角函数的综合应用，属于基础题 12.【答案】 4 3 【解析】解：正方体的棱长为 2，中间四边形的边长为： 2， 八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为 1， 多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2 1 3 2 2 1 = 4 3 故答案为： 4 3 求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可 本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 第 10 页，共 17 页 13.【答案】 4 27 【解析】解：某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考， 每门学科考 +得 70 分，考 A 得 67 分，考+得 64 分
12、，该生每门学科均不低于 64 分， 基本事件总数 = 3 3 3 = 27， 其总分至少为 207 分包含的基本事件个数： = 3 3 + 2 311= 4， 则其总分至少为 207 分的概率 = = 4 27 故答案为： 4 27 先求出基本事件总数 = 3 3 3 = 27，其总分至少为 207 分包含的基本事件个数 = 3 3 + 2 311= 4，由此能求出其总分至少为 207 分的概率 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 14.【答案】1 【解析】解：由= (1)1，得log99=1log991， 99 991= 1=99 1 99，
13、则数列log99是以991= 9999 1 99= 1 99为首项，以99 1 99为公比的等比数列， 99100= 1 99 (99 1 99)99= 1 故答案为：1 由已知数列递推式可得数列log99是以991= 9999 1 99= 1 99为首项，以99 1 99为公比 的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题 15.【答案】4 5 【解析】解：先简化本题，将2看成一个整体，仍记为，则 本题化为已知、是平面内三个单位向量，若 ，求| +2| + |6 +2|的 最小值， 根据题意设 = (1,0)， = (0,1)，2对应的点 C
14、在单位圆上， 第 11 页，共 17 页 | +2|2= 5 + 4，|2 + |2= 5 + 4， | +2| = |2 + |， |2 + |表示 C 点到(2,0)的距离，|6 +4|表示点 C 到(6,4)的距离， 而单位圆与以点(2,0)，(6,4)为端点的线段相交， 所以 +2| + |6 +2|的最小值为(2,0)和(6,4)两点的距离4 5， 故答案为：4 5 本题中2是一个整体，首先简化，根据条件 ，建立直角坐标系，将| +2|转化 为|2 + |， 进一步转化为两点间的距离， 同理|6 +4|也可以表示为两点间的距离， 最后数形结合可知，最小值为两点间的距离 本题需要对向量
15、的模考察非常深刻，题目属于难题 16.【答案】(0, 1 20192 【解析】解：设四个“近似整零点”为 m， + 1， + 2， + 3， 则4 2019 = () + ( + 3)( + 1)( + 2) |()| + |( + 3)| + |( + 1)| + |( + 2)| 4 1 2019， 1 20192 故答案为：(0, 1 20192 设四个 “近似整零点” 为 m， + 1， + 2， + 3， 再利用绝对值不等式的性质和|( 0)| 1 2019，求得 a 的取值范围 本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只 与图象的开口大小有关，且四个整零点的最小距离为 3，此时 a 可取得最大值，属于中 档题 17.【答案】解：(1) 中， = 2 即圆锥底面半径为 2 圆锥的侧面积侧= = 8.4 故圆锥的全面积全=侧+底= 8 + 4 = 12.6 (2)过 D 作/交 BO 于 M，连 CM 则为异面直线 AO 与 CD 所成角.8 平面 平面 第 12 页，共 17 页 在 中， = 2 3 = 3， 是 AB 的中点 是 OB 的中点， = 1 = 5 在 中，tan = 5 3 = 15 3 ，.10 = arctan 15 3 ， 即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arct
