江苏省南京一中高三（上）期中数学试卷

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1、第 1 页，共 19 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号 一二总分 得分 一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分） 1. 已知集合 = 0,1，2，3， = 1,0，1，则 = _ 2. 复数 z 满足 1 + = 3，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模是_ 3. 双曲线 2 9 2 25 = 1的渐近线方程是_ 4. 从 1，2，3，4 这四个数中一次性随机地取出 2 个数，则所取 2 个数的乘积为奇数 的概率是_ 5. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况， 现随机抽测了通过这段公路的 200 辆汽 车的时速，所得数据均在区间40,80中，其频率分布直方

2、图如图所示，则在抽测的 200 辆汽车中，时速在区间40,60)内的汽车有_辆 6. 如图所示的流程图的运行结果是_ 第 2 页，共 19 页 7. 若圆锥底面半径为 1，侧面积为 5，则该圆锥的体积是_ 8. 若实数x、 y满足约束条件 1 1 + 2 4， 则目标函数 = + 的最大值等于_ 9. 已知等差数列的前 n 项和为，且13= 6，则39210= _ 10.已知() = 2+ 3 + 1, 0 2+ + 2, 0)的两个焦点分别为1( 2,0)，2( 2,0)，点 (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 ()求椭圆 C 的方程； ()过点(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相

3、交于 A，B 两点，设点(3,2)，记直线 AN，BN 的斜率分别为1，2，求证：1+2为定值 第 4 页，共 19 页 19.设函数() = 3+3|， (1)若 = 1，求曲线 = ()在 = 2处的切线方程； (2)当 1,1时，求函数()的最小值； (3)已知 0，且对任意的 1, + )，都有( + )(1 + ) 152，求 实数 a 的取值范围 20.对于数列， 把和|11| + |22| + + |叫做数列与的前 n 项的泛和，记作为，已知数列的前 n 项和为，且32= 2 (1)求数列的通项公式； (2)数列与数列|的前 n 项和的泛和为，且 恒成立，求实数的取值 范围； (

4、3)从数列的前 2n 项中，任取 n 项从小到大依次排列，得到数列1，2， ，再将余下的 n 项从大到小依次排列，得到数列1，2，求数列与数列 的前 n 项和的泛和 第 5 页，共 19 页 第 6 页，共 19 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】0,1 【解析】解： 集合 = 0,1，2，3， = 1,0，1， = 0,1 故答案为：0,1 利用交集定义直接求解 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用 2.【答案】3 2 【解析】解：由 1 + = 3， 得 = 3(1 + ) = 33 则复数 z 的模是 32+ (3)2= 3 2 故答案为：3 2 直

5、接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3.【答案】 = 5 3 【解析】解：双曲线 2 9 2 25 = 1的渐近线方程为 = 5 3， 故答案为： = 5 3. 由焦点在 x 轴的双曲线 2 2 2 2 = 1(, 0)的渐近线方程 = ，可得所求渐近线方 程 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础 题 4.【答案】 1 6 【解析】解：乘积为奇数可以等价为取出的两个数均为奇数，故所取 2 个数的乘积为奇 数包含 1 个基本事件，而从 4 个数中取出 2 个包含2 4=

6、 6个基本事件， 则所取 2 个数的乘积为奇数的概率是： 1 6 第 7 页，共 19 页 故填： 1 6 乘积为奇数可以等价为取出的两个数均为奇数， 故所取 2 个数的乘积为奇数包含 1 个基 本事件，而从 4 个数中取出 2 个包含2 4= 6个基本事件，相除即可 本题考查了古典概型的概率计算和计数原理，主要是简单的排列组合问题，属于基础 题 5.【答案】80 【解析】解：由频率分布直方图得： 时速在区间40,60)内的汽车的频率为(0.01 + 0.03) 10 = 0.4 时速在区间40,60)内的汽车有0.4 200 = 80(辆) 故答案为：80 由频率分布直方图先求出时速在区间4

7、0,60)内的汽车的频率，由此能求出时速在区间 40,60)内的汽车数量 本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合 理运用 6.【答案】20 【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出 = 5 4的值， = 5 4 = 20， 故答案为：20 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是 计算并输出 = 5 4的值 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法 是：分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又

8、要 分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管 理)建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模 7.【答案】 2 3 【解析】 第 8 页，共 19 页 【分析】 设圆锥的母线长为 l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求出 l 后利用勾股定理计算圆锥 的高，即可求出圆锥的体积 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的 周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 【解答】 解：设圆锥的母线长为 l， 根据题意得，解得 = 5， 所以圆锥的高 =51

9、 = 2， 所以圆锥的体积等于 ， 故答案为： 2 3. 8.【答案】5 【解析】解：先根据约束条件 1 1 + 2 4画出可行域， 然后平移直线 = + ， 当直线 = + 过点(6,1)时，z 最大值为 5 故答案为：5 先根据约束条件 1 1 + 2 4画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 = + 过点(6,1)时，z 最大值即可 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 第 9 页，共 19 页 9.【答案】 6 13 【解析】 【分析】由已知求得7，把39210转化为7得答案 本题考查等差数列的性质，考查等差数列的通项公式及前 n 项和，是基础的计算

10、题 【解析】由13= 6，得 (1+ 13) 13 2 = 137= 6， 7= 6 13， 则39210= 3(1+8)2(1+9) =1+6 =7= 6 13 故答案为： 6 13 10.【答案】1,1 【解析】解：当 0时，() = 2+ + 2 = ( 1 2 )2+ 5 4 2，且函数为增函数， 当 0时，() = 2+3 + 1 = ( + 3 2) 25 4 1，且函 数为增函数， 若22| 0，则不等式(22|) 5恒成立， 此时|(2|1) 0， 得0 | 1 2， 若22| 0，即| 1 2或| 0， 则不等式(22|) 5恒成立， (1) = 5， 不等式(22|) 5等

11、价为(22|) (1)， 则22| 1， 即22|1 0， 得(|1)(2| + 1) 0， 则| 1， | 1 2或| 0， 1 2 | 1或| = 0， 第 10 页，共 19 页 综上| 1， 综上1 1， 故答案为：1,1 根据分段函数的表达式，判断函数的单调性和取值范围，结合一元二次不等式的解法进 行求解即可 本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断函数的单调性的性质，结合一 元二次不等式的解法进行求解是解决本题的关键 11.【答案】 6 5 0 【解析】解：原问题可转化为：圆(2)2+(3)2= 4和圆2+ 2= 1相交， 可得两圆圆心之间的距离 =(20)2+ ( +

12、30)2=52+ 6 + 9， 由两圆相交可得21 52+ 6 + 9 2 + 1， 平方可得1 52+6 + 9 9，解得 6 5 0 故答案为： 6 5 0， 根据二次函数的性质可知，当 = 4时，取得最大值 2 故答案为：2 结合两角和的正切公式可得， = + + = 8，然后由 = sin( + ) ，结合两角和的正弦公式及同角基本关系进行化简后，结合二次函数 的性质可求最值 本题主要考查了诱导公式及两角和的正切公式的应用， 及利用二次函数的性质求解函数 的最值，属于中档试题 14.【答案】3 第 12 页，共 19 页 【解析】 【分析】 求函数()的导数，判断函数的极值，作出函数(

13、)的图象，设 = ()，利用根与系 数的关系，结合数形结合进行讨论求解即可 本题考查方程的根的个数的判断，考查函数方程的转化思想，考查数形结合和分类讨论 的思想方法，综合性较强，难度较大 【解答】 解：函数()的导数为() = 2(23) ()2 = 22+ 3 = (223) = ( + 1)(3) ， 由() 0，得1 3，()递增； 由() 3或 0，方程有两个不等实 根， 12= 12 2 6 3，则2 2 0，此时 =1和()有 1 个交点， =2与()有 2 个交点， 此时共有 3 个交点， 当0 1 6 3则2 2，此时 =1和()有 3 个交点， =2与()有 0 交点，此 时

14、共有 3 个交点， 当2 1 6 3，此时 = 1和()有 2 个交点， =2与()有 1 个交点， 第 13 页，共 19 页 此时共有 3 个交点， 当1= 2，则2= 6 3，此时 = 1和()有 1 个交点， =2与()有 2 个交点，此 时共有 3 个交点， 当1 2，则0 2 6 3，此时 = 1和()有 0 个交点， =2与()有 3 个交点， 此时共有 3 个交点， 综上方程()2+() 12 2 = 0( )恒有 3 个不同的实数解，即 = 3， 即 m 的所有可能的值构成的集合为3， 故答案为：3 15.【答案】证明：(1)连接 EC 交 DE 于 N，连接 MN 矩形 C

15、DEF， ，DF 相互平分， 为 EC 中点 又 为 EA 中点， / 又 平面 DMF，且 平面 DMF /平面 DMF (2) 矩形 CDEF， 又 /， 又 直角梯形 ABCD，/且 = 90， = ， 平面 ADE 又 平面 ADE， = ，M 为 AE 的中点， 又 = ， 平面 ABE 平面 ABE， 【解析】(1)设 EC 与 DF 交于点 N，连结 MN，则/，由此能证明/平面 MDF (2)先证明 . ，利用线面垂直的判定定理可证 平面 ADE，利用线 面垂直的性质定理可证 ，又 ，可证 平面.利用线面垂直的 性质可证 本题考查线面垂直的证明，考查线面垂直的性质定理的应用，解题时要认真审题，考查 第 14 页，共 19 页 了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题 16.【答案】解 ：(1)锐角 中，由向量 = (1, 3)， = (,)，且与平行， 则 3 = 0， 即 =3，解得 = 3； (2)由 =3，利用正弦定理得： = = = 3 3 2 = 2， 所以2+ 2= 4(sin2 + sin2) = 2(222) = 42222(2 3 ) = 42