《江苏省高二（上）期中数学试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省高二（上）期中数学试卷（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页，共 18 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 命题“ ，使2+2 + 0”的否定是() A. ，都有2+2 + 0 B. ，使2+2 + 0 C. ，都有2+2 + 0 D. 不存在 ，使2+2 + 0 2. 两数 2 +1与 21的等比中项是() A. 1B. 1 2 C. 1D. 1 3. “0 0)的左、右焦点分别为1，2，P 为椭圆上不与左右 顶点重合的任意一点，I，G 分别为 12的内心和重心，当 轴时，椭圆 的离心率为() A. 1 3 B. 1 2 C. 3 2 D. 6
2、 3 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 第 3 页，共 18 页 13.若“ 3”是“ ”的必要不充分条件，则 m 的取值范围是_ 14.已知数列满足1= 1， + 1= 3+2，则数列的通项公式= _ 15.过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆 2 2 + 2 2 = 1( 0)交于 A、B 两点，1， 2为椭圆的左，右焦点，若12= 2，且该椭圆的离心率 2 2 , 6 3 ，则的取值 范围为_ 16.过抛物线2= 4焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，与圆(1)2+ 2= 2交于 C，D 两点，若有三条直线满足| = |，则 r 的取值范围为_ 三、解答题（本大题共
3、 6 小题，共 70.0 分） 17.(1)已知数列的前 n 项和为，若= 3+2 + 1，求 (2)已知是各项为正的等比数列，1= 2，3= 22+16，设=log2，求数 列的前 n 项和 18.已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的离心率为 3，且 2 = 2 3 (1)求双曲线 C 的方程； (2)已知直线 + = 0与双曲线 C 交于不同的两点 A，B 且线段 AB 的中点在圆 2+ 2= 5上，求 m 的值 第 4 页，共 18 页 19. 已知 p：( + 1)(2) 0，q：关于 x 的不等式2+2 + 6 0恒成立 (1)当 时 q 成立，求实数 m 的取值
4、范围； (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 20. 已知为等差数列，前 n 项和为( )，是首项为 2 的等比数列，且公 比大于 0，2+3= 12，3=421，11= 114 (1)求和的通项公式； (2)求数列221的前 n 项和( )； (3)设=log221，为数列 42 + 1的前 n 项和，求不超过2019的最大整数 21. 如图， 已知抛物线 C 顶点在坐标原点， 焦点 F 在 Y 轴的 非负半轴上，点(2,1)是抛物线上的一点 (1)求抛物线 C 的标准方程； (2)若点 P，Q 在抛物线 C 上，且抛物线 C 在点 P，Q 处的切线交于点 S，记直
5、线 MP，MQ 的斜率分别为1， 2， 且满足21= 1， 当 P， Q 在 C 上运动时， 第 5 页，共 18 页 的面积是否为定值？若是，求出 的面积；若不是，请说明理由 22. 如图，已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1( 0)的离心率为 1 2，右准线方程为 = 4，A，B 分别是椭圆 C 的左， 右顶点， 过右焦点 F 且斜率为( 0)的直线 l 与椭圆 C 相交 于 M，N 两点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)记 ， 的面积分别为1，2，若 1 2= 3 2，求 k 的值； (3)设线段 MN 的中点为 D，直线 OD 与右准线相交于点 E，记直线 AM，BN，FE
6、 的斜率分别为1，2，3，求2 (13)的值 第 6 页，共 18 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：命题“ ，使2+2 + 0”的否定是： ，都有2+2 + 0， 故选：C 将“存在”换为“”同时将结论“2+2 + 0”换为“2+2 + 0” 求含量词的命题的否定，应该将量词交换同时将结论否定 2.【答案】D 【解析】解：设两数 2 +1与 21的等比中项是 x，则由等比中项的定义可得2= ( 2 +1)( 21) = 1， = 1， 故选：D 设两数 2 +1与 21的等比中项是 x，则由等比中项的定义可得2= ( 2 +1)( 2 1) = 1，解方程求得 x 的值
7、本题主要考查等比数列的定义和性质，等比中项的定义属于基础题 3.【答案】B 【解析】解：若方程 2 + 2 2 = 1表示椭圆，则 0 2 0 2； 解得0 2且 1； 故“0 1”方程 2 + 2 2 = 1表示椭圆； 反之，方程 2 + 2 2 = 1表示椭圆推不出“0 1“ “0 0 1(,0)，2(,0) 则( 0 3, 0 3)， 轴， = 0 3 设三角形内切圆的半径为 r 由三角形内切圆的性质可得： 1 2(2 + 2) = 1 2 2 0 解得 = 0 + ， = 0 + 设1，2分别与内切圆相切于点 D，E 第 10 页，共 18 页 则 = = 1 2(22) = 在 中，
8、由勾股定理可得：2+2= 2 ()2+( 0 + ) 2= (00 3) 2+(0 0 + ) 2， 化为： 20 9 4() 2+ 20 2 = 1 与椭圆 2 2 + 2 2 = 1( 0)比较可得：2= 9 4() 2， = 3 2()，可得 = 1 3 = 1 3 故选：A 如图所示，设(0,0)，不妨设0 0.利用三角形重心性质可得( 0 3, 0 3)，根据 轴， 可得= 0 3.设三角形内切圆的半径为.由三角形内切圆的性质可得： 1 2(2 + 2) = 1 2 2 0.可得 = 0 + =.设1，2分别与内切圆相切于点 D，.可得 = = 1 2 (22) = .在 中，由勾股
9、定理可得：2+2= 2.化简整理即可得出 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、三角形 面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 13.【答案】 3 【解析】解：若“ 3”是“ ”的必要不充分条件， 则| | 3， 即 3， 即实数 m 的取值范围是 3， 故答案为： 3 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行求解即可 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键 14.【答案】2 311 【解析】解：由 + 1= 3+2，得 + 1+1 = 3(+1)， 又1= 1，所以+1是以 2 为首项、3 为公比的等比数列，
10、+1 = 2 31，= 2 311 故答案为：2 311 第 11 页，共 18 页 由 + 1= 3+2，得 + 1+1 = 3(+1)，从而可判断是以 2 为首项、3 为公比的 等比数列，进而可求得+1 本题考查由数列递推公式求数列通项，属中档题 15.【答案】 6, 5 6 【解析】解：由题可知，1+2= 2，即2 2+2 2= 2 = 1 sin 2+ cos 2 = 1 2sin( 2+ 4)， 又 2 2 , 6 3 ， sin( 2+ 4) 3 2 ,1 又 0, 6, 5 6 故答案为： 6, 5 6 根据直角三角形的性质，找到 e 与的数量关系，利用函数思想可求出来 本题主要
11、考查椭圆的简单几何性质，利用了三角函数恒等变形，并考查了给值求角 16.【答案】(2, + ) 【解析】解：抛物线2= 4焦点为(1,0)， (1)当直线 轴时，直线 l： = 1与抛物线交于(1,2)、(1,2)， 与圆(1)2+ 2= 2交于(1,)，(1,)，满足| = | (2)当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 方程 = (1).(1,1)，(2,2)， 联立方程组 = (1) 2= 4 ，化简得22(22+4) + 2= 0， 由韦达定理1+2= 2 + 4 2，由抛物线得定义，过焦点 F 的线段| = | + | = 1+2+2 = 4 + 4 2， 当四点顺序为 A、C
12、、D、B 时， | = |， 的中点为焦点(1,0)，这样的不与 x 轴垂直的直线不存在； 当四点顺序为 A、C、B、D 时， | = |， | = |， 又 | = 2， 4 + 4 2 = 2，即 2 2 = 2， 第 12 页，共 18 页 当 2时存在互为相反数的两斜率 k，即存在关于 = 1对称的两条直线 综上，当 (2, + )时有三条满足条件的直线 故答案为：(2, + ) 求得抛物线的焦点，讨论直线 l 的斜率不存在，可得 A，B，C，D，满足题意；当直线 的斜率存在，设直线 l 方程 = (1).(1,1)，(2,2)，联立直线方程和抛物线方 程，运用韦达定理和抛物线的定义，
13、讨论当四点顺序为 A、C、D、B 时，当四点顺序为 A、C、B、D 时，考虑是否存在与直线 = 1对称的直线，即可得到所求范围 本题考查抛物线的定义、 方程和运用， 考查直线方程和抛物线方程联立， 运用韦达定理， 考查分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题 17.【答案】解：(1)当 = 1时，1=1= 6； 当 2时，=1= (3+2 + 1)31+2(1) + 1 = 2 31+2， 由于1不适合此式， 所以=6, = 1 2 31+ 2, 2 (2)设等比数列的公比为 q， 0， 由1= 2，3= 22+16，得22= 4 + 16， 即228 = 0，解得 = 2(舍)或 =
14、 4 =11= 2 41= 221；= 2= 2221= 21， 1= 1， + 1= 2( + 1)12 + 1 = 2， 数列是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 则数列的前 n 项和= 1 + (1) 2 2 = 2 【解析】(1)应用数列的递推式，化简可得所求通项公式； (2)设等比数列的公比为 q， 0，应用等比数列的通项公式解方程可得 q，可得， ，再由等差数列的求和公式，可得所求和 本题考查数列的递推式的应用，等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的应 用，考查方程思想和运算能力，属于基础题 18.【答案】解：(1)由题意， = 3 2 = 2 3 ，解得 = 6
15、3 ， = 2 2= 22= 2 2 3= 4 3 双曲线 C 的方程为3 2 2 3 2 4 = 1； 第 13 页，共 18 页 (2)由 32 2 32 4 = 1 + = 0，得3 26324 = 0， 设(1,1)，(2,2)， 1+2= 2，又中点在直线 + = 0上， 中点坐标为(,2)， 代入2+ 2= 5得 = 1，满足判别式 0 的值为 1 【解析】本题考查双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交的性质，是中档题 (1)由已知可得关于 a，c 的方程组，求解可得 a，c 的值，结合隐含条件求得 b，则双曲 线方程可求； (2)联立直线方程与双曲线方程， 利用根与系数的关系求得 AB 的中点坐标， 代入圆的方 程求得 m 值 19.【答案】解：(1) 42+424 0， 2+6 0， 3 0， 是 q 的充分不必要条件， 由(1)知，3 0 = | 3，满足题意； = 2时， = |2+4 + 4 0 = | 2，满足题意； 2时，设() = 2+2 + 6， ()对称轴为 = ，由得 0或 2 (2) 0， 1 3 + 7 0或 0， 1 7 3或 10 3 2， 10 3 3或2
