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1、第 1 页，共 15 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 设 ，则“ 1”是“2 1”的()条件 A. 必要不充分B. 充分不必要 C. 既不充分也不必要D. 充要 2. 若数列的前 4 项分别是 1 2, 1 3, 1 4, 1 5，则此数列一个通项公式为() A. (1) + 1 B. (1) C. (1) + 1 + 1 D. (1)1 3. 在等差数列中，若3= 2，6= 4，则等差数列的公差 = () A. 3 2 B. 1C. 2 3 D. 1 3 4. 已知等比数列中4= 27， =
2、 3，则1= () A. 1B. 1C. 3D. 3 5. 已知 1, = + 1 1，则 y 的最小值是() A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知命题 p： ，q：2 + 2 0，则下列不等式正确的是() A. 2 2C. D. 1 0，20 0，21 0，21 0对于任意的实数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围是 _ 第 3 页，共 15 页 15.已知数列首项为1= 1，且 + 1= + 1, ，则数列1 的前 n 项和 为_ 16.已知正数 a，b 满足 + = 2，则 + 1+ + 2的最大值为_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17.解下列不等式： (
3、1)(1)( + 2) 4 (2) 2 + 1 3 1 18.已知等差数列前 n 项和为，且2= 18，11= 0 (1)求数列的通项公式； (2)若= ，求证：数列是等差数列 19.已知数列的前 n 项和，且满足：= 21， (1)求数列的通项公式； (2)若= 2 + 1，求数列的前 n 项和 第 4 页，共 15 页 20.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元， 每生产x千件， 需另投入成本为()， 当年产量不足 80 千件时，() = 1 3 2+10(万元).当年产量不小于 80 千件时， () = 51 + 10000 1450(万元).每件商品售价为0.05万元通过市场分析
4、，该厂 生产的商品能全部售完 (1)写出年利润()(万元)关于年产量(千件)的函数解析式 (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 21.设函数() = 2+(2) + 3，( 0) (1)若不等式() 0的解集为(3,1)，求 a，b 的值； (2)若 = ，求不等式() 1的解集 第 5 页，共 15 页 22.已知数列的前 n 项和为，且满足= 22 + 1，数列中，1= 2 3 + 3， 对任意正整数 2,1+= ( 1 3) (1)求数列的通项公式； (2)是否存在实数，使得数列3+是等比数列？若存在，请求出实数及公 比 q 的值，若不存在，请说明理由； (3
5、)求数列前 n 项和为 第 6 页，共 15 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：当 时， 12 1；而2 1不能推出 1，也可能 1”是“2 1”的充分不必要条件 故选：B 由 12 1，而2 1不能推出 1，则答案可求 本题考查充分必要条件的判定，是基础题 2.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了数列通项公式的写法，主要用观察法，考查归纳推理，属于基础题 根据数列的前四项是 1 2, 1 3, 1 4, 1 5，找规律，奇数项为负数，偶数项为正数，分子都是 1， 分母是项数加 1，即可写出通项公式 【解答】 解：由数列的前四项是 1 2, 1 3, 1 4, 1 5
6、， 归纳推理得= (1) + 1； 故选：A 3.【答案】C 【解析】解： 在等差数列中，3= 2，6= 4， 等差数列的公差 = 63 63 = 42 63= 2 3 故选：C 利用等差数列的通项公式直接求解 本题考查等差数列的公差的求法， 考查等差数列的性质等基础知识， 考查运算求解能力， 是基础题 4.【答案】B 第 7 页，共 15 页 【解析】解：等比数列中，4= 27， = 3， 则1= 4 3 = 27 (3)3 = 1 故选：B 根据等比数列的通项公式计算即可 本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题 5.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了基本不等式的性质，考查
7、了推理能力与计算能力，属于基础题 变形利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解 ： 1, = + 1 1= 1 + 1 1+1 2 (1) 1 1+1 = 3，当且仅当 = 2时取等 号 则 y 的最小值是 3 故选：C 6.【答案】D 【解析】解：命题 p： ，q：2 + 2 0， 命题 p 是命题 q 的充分不必要条件， 能推出 q，q 推不出 p 由题知：q：2 + 2 2或 0， 所以取 = 2， = 1，可排除 A，B，C 故选：D 根据 0，取 = 2， = 1可用排除法得到正确选项 本题考查了不等式的基本性质，属基础题 9.【答案】B 【解析】解：由题设知七层塔中，各层塔上灯的
8、个数成等比数列，且公比 = 2， 设塔顶有 x 盏灯，则(12 7) 12 = 381，解得 = 3 故选：B 设塔顶有 x 盏灯，由等比数列的求和公式可得(12 7) 12 = 381，解方程可得结果 本题考查等比数列的前 n 项和，从实际问题中抽象出数列问题是解决本题的关键，属基 础题 10.【答案】C 【解析】解：依题意，前从1到19共有 1 + 19 2 19 = 190个数字， 所以20从左到右第一个数是第 191 个奇数， 第 n 个奇数为21， 第 9 页，共 15 页 所以第 191 个奇数为2 1911 = 381 故选：C 先计算前 19 行数字的个数，进而可得20从左到右
9、第一个数 本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力， 考查分析问题和解决问题的能力属于中档题 11.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了等差数列的性质和前 n 项和应用问题，是基础题 根据等差数列的前 n 项和公式与项的性质，得出10 0，且11 0，21 0, (1+ 21) 21 2 = 2111 0，并且11 0， 所以数列的前 10 项和最大 故选：C 12.【答案】B 【解析】解：函数() = 2 2+ 1，可得() = 2 2+ 1 = 2 2 1 + 2， 则() + () = 2(1 + 2) 1 + 2 = 2， 设 = (5) + (
10、4) + + (0) + + (4) + (5)， 则 = (5) + (4) + + (0) + + (4) + (5)， 相加可得 2 = (5) + (5) + (4) + (4) + + 2(0) + + (4) + (4) + (5) + (5) = 2 + 2 + + 2 + + 2 + 2 = 2 11， 可得 = 11 故选：B 第 10 页，共 15 页 由题意求得() + () = 2，设 = (5) + (4) + + (0) + + (4) + (5)， 则 = (5) + (4) + + (0) + + (4) + (5)，两式相加，计算可得所求和 本题考查函数的值的
11、和的求法，注意运用倒序相加法，求得() + () = 2是解题的 关键，考查化简运算能力，属于中档题 13.【答案】 0，21 0 【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为 0，21 0， 故答案为： 0，21 0 根据含有量词的命题的否定即可得到结论 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 14.【答案】0 0对于任意的实数 x 恒成立， 二次函数 = 22 + 的图象恒在 x 轴上方， = 24 2 0， 即 28 0， 0 8， 故答案为：0 8 本题是一道二次不等式恒成立问题，可以转化为对应的二次函数的图象恒在 x 轴上方， 则判别式 0求解 本题是二次不等式恒成立问题，x 的范
12、围是 R，我们还可以变式将 x 的范围进行适当的 限制，然后用分类讨论的方法或分离参数的方法求解 15.【答案】 2 + 1 【解析】解：1= 1，且 + 1= + 1, ， 可得=1+(21) + (32) + + (1) = 1 + 2 + 3 + + = 1 2( + 1)， 则 1 = 2 ( + 1)= 2( 1 1 + 1)， 可得数列 1 的前 n 项和为2(1 1 2+ 1 2 1 3+ + 1 1 + 1) = 2(1 1 + 1) = 2 + 1 第 11 页，共 15 页 故答案为： 2 + 1 由数列的恒等式：=1+(21) + (32) + + (1)，结合已知递推式
13、，结 合等差数列的求和公式，可得，求得 1 = 2 ( + 1)= 2( 1 1 + 1)，再由数列的裂项相消 求和，可得所求和 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的裂项相消求和， 同时考查等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题 16.【答案】 6 5 【解析】解：正数 a，b 满足 + = 2， ( + 1) + ( + 2) = 5 则 + 1+ + 2= + 11 + 1 + + 22 + 2 = 2( 1 + 1+ 1 + 2). 1 + 1+ 1 + 2= 1 5( + 1) + ( + 2)( 1 + 1+ 1 + 2) = 1 5(2 +
14、 + 2 + 1+ + 1 + 2) 1 5(2 + 2) = 4 5， 当且仅当 + 1 = + 2 = 5 2，解得 = 3 2， = 1 2时取等号 + 1+ + 2= 2( 1 + 1+ 1 + 2) 2 4 5= 6 5 + 1+ + 2的最大值为 6 5 故答案为： 6 5 正数 a，b 满足 + = 2，变形为( + 1) + ( + 2) = 5.变形 + 1+ + 2= + 11 + 1 + + 22 + 2 = 2( 1 + 1+ 1 + 2)，再利用基本不等式的性质即可得出 本题考查了基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 17.【答案】解：(1
15、)原不等式可化为2+6 0，所以原不等式的解集为 |3 3 【解析】(1)原不等式可化为2+6 0，然后按一元二次不等式的解法解即可； (2)原不等式可化为 + 4 3 0，该不等式又等价于( + 4)(3) 0 3 0 ，然后解不等式组即 可 第 12 页，共 15 页 考查一元二次不等式和分式不等式的解法 18.【答案】解：(1)设等差数列的公差为 d， 可得2 1+ 3 = 18 111+ 55 = 0 1 = 10 = 2 ， = 212 (2)= (10 + 212) 2 = (11)， = = 11，从而 + 1= 1(常数) 所以数列是等差数列 【解析】(1)设出数列的公差，利用已知条件列出方程组求解首项与公差，即可得到通 项公式 (2)求出等差数列的和，化简= ，然后求解数列的和即可 本题考查数列求和数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力 19.【答案】解：(1)依题意：当 = 1时，有：1= 211，又1=1，故1= 1， 由= 21当 2时，有1= 211， 得：1= 221化简得：= 21， 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， = 21 (2)= (2 + 1) 21， = 3 20+5 21+7 22+ + (2 + 1) 21， 2= 3 21+5 22+ + (21) 21+(2
