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1、1 51 5事件的独立性事件的独立性1 1. .5 5 事件的独立性事件的独立性 一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性 二二三个事件的独立性三个事件的独立性二二、三个事件的独立性三个事件的独立性 三、n个事件的独立性三、n个事件的独立性 四、伯努利(Bernoulli)概型四、伯努利(Bernoulli)概型 一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性 设A、B是试验E的两事件，若P(A)0，则我们设A、B是试验E的两事件，若P(A)0，则我们 可以定义P(B|A)。可以定义P(B|A)。 一般，A的发生对B发生的概率是有影响的，一般，A的发生对B发生的概率是有影响的， 说说P(B|A)P(
2、B|A)等等P(B)P(B)也就是也就是说说，P(B|A)P(B|A)不不等等于于P(B)P(B)。 如果这种影响不存在如果这种影响不存在那么那么P(B|A) P(B)P(B|A) P(B) 如果这种影响不存在如果这种影响不存在，那么那么P(B|A)P(B|A)= =P(B)P(B)。 这时有这时有P(AB) P(A)P(B|A) P(A)P(B)P(AB) P(A)P(B|A) P(A)P(B) 这时有这时有P(AB)P(AB)= =P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)= =P(A)P(B)P(A)P(B)。 两个事件独立性的定义两个事件独立性的定义两个事件独立性的定义两个事件独立性的定
3、义 设 A、B 是两个随机事件，如果设是两个随机事件如果 BPAPABP BPAPABP 则称A与 B 是相互独立的随机事件则称A 与 B 是相互独立的随机事件 事件独立性的性质事件独立性的性质 1）如果事件A 与 B 相互独立，而且P(A)0 则 P(B|A)=P(B) 证明：由于事件A与 B 相互独立，故证明：由于事件A 与 B 相互独立，故 BPAPABP ABP BPAP AP ABP ABP因此， BP AP BPAP 2）必然事件与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立 APAP AP1 APP 证明：由 APAP AP1 APP 可知必然事件与任意事件A 相
4、互独立； 由 证明：由 可知不可能事件与任意随机事件A相互独立. 由 可知不可能事件与任意随机事件A相互独立. 3)3)若随机事件若随机事件 A A 与与 B B 相互独立相互独立则下列各事则下列各事3)3)若随机事件若随机事件 A A 与与 B B 相互独立相互独立，则下列各事则下列各事 件也相互独立.件也相互独立. A A与与B BA A与与B BA A与与B B 证证：为方便起见，只证BA 与相互独立即可 A A与与B B、A A与与B B、A A与与B B 与 由于 ABPBPBAP 的独立性与事件BABPAPBP 的独立性与事件BABPAPBP BPAP 1 BPAP 相互独立与所以
5、事件BA相互独立与所以，事件BA 4)4)对概率不等于对概率不等于0的两个事件的两个事件互不相容与相互不相容与相4)4) 对概率不等于对概率不等于0的两个事件的两个事件，互不相容与相互不相容与相 互独立不能同时成立。即互独立不能同时成立。即 0BPAP 1)若事件A与 B 相互独立则AB 设事件 A 与 B 满足： 1)若事件A 与 B 相互独立，则AB ； 2)若AB = ，则事件A 与 B 不相互独立)若，则事件与不相互独 证明：1)相互独立，故与由于事件BA 0BPAPABP AB所以， 4)(续续) 2) 由于AB = ，所以 0 PABP 但是由题设 0A但是，由题设 0BPAP B
6、PAPABP所以 BPAPABP所以， 这表明这表明事件事件 A A 与与 B B 不相互独立不相互独立这表明这表明，事件事件 A A 与与 B B 不相互独立不相互独立 例2例2 甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.7，乙 投中的概率为0.8，求甲、乙两人至少有一人投中的 概率. 解：记A=“甲投中” B=“乙投中”解： 相互独立，故与显然BA 记A= 甲投中， B= 乙投中 甲乙两人至少有人投中的概率 ABPBPAPBAP)()( 甲、乙两人至少有一人投中的概率 94080708070 )()( )()()()(BPAPBPAP 94 . 0 8 . 07 . 08 . 07 . 0
7、 )(1BAPBAP )(1BAP)()(1BPAP 94. 02 . 03 . 01 例1例1 设试验设试验E E为为“抛甲抛甲乙两枚乙两枚均匀均匀硬币硬币观察观察设试验设试验E E为为抛甲抛甲、乙两枚乙两枚均匀均匀硬币硬币，观察观察 正反面出现的情况”。设事件A为“甲币出正反面出现的情况”。设事件A为“甲币出 现现H H”事件事件B B为为“乙币出现乙币出现H H”E E的样本空间的样本空间现现H H ，事件事件B B为为乙币出现乙币出现H H 。E E的样本空间的样本空间 为：为：=HH，HT，TH，TT B HHTHA HHHTAB=HH P(A)=2/4=1/2 B=HH，THA=H
8、H，HTAB=HH P(B)=2/4=1/2 P(AB)=1/4 P(B | A)=P(AB) / P(A) P(B |A) P(B) =1/2 由题意可知，甲币是否出 现正面与乙币是否出现正 由题意可知，甲币是否出 现正面与乙币是否出现正 P(B | A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) 面显然是互不影响的。 这表明，事件 A 是否发生对事件 B 面显然是互不影响的。 这表明，事件 A 是否发生对事件 B ()( ) ( ) 是否发生在概率上是没有影响的是否发生在概率上是没有影响的，即 事件 A 与 B 呈现出某种独立性 即 事件 A 与 B 呈现出某种独立性 由此由此，我们引出事件
9、独立性的概念我们引出事件独立性的概念 注意注意 两事件A与B是否独立依赖于概率测度P( ) 如在例1中两事件A与B是否独立依赖于概率测度P( )。如在例1中， 取事件A=HH，HTA=HH，HT(甲币出现H), C=HT，THC=HT，TH(甲、乙 两硬币不出现同一面)并设两硬币出现正面H的概率两硬币不出现同面)，并设两硬币出现正面H的概率 均为p，出现反面T的概率均为q=1-p，则 P(A) 2+ P(C) 2 ()( ) ( ) P(A)=p2+pq=p，P(C)=2pq， P(AC)=pq，P(A)P(C)=2p2q 因此，只有当p=1/2时，才有 P(AC)=P(A)P(C)，即才因，
10、有p/，才有()( ) ( )，才 有A与C独立。 在实际应用中对于事件的独立性我们往往不是根在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根 据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具 体的说题目一般把独立性作为条件告诉我们要求体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求 直接应用定义中的公式进行计算。 二、三个事件的独立性二、三个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件，如果设A、B、C是三个随机事件，如果 BPAPABP CPAPACP CPBPBCP CPBPAPABCP CPAPACP 则称随机事件A、B、C是则称随机事件A、B、C是相互独立的相互独立的 注 意注 意 在三个事件
11、独立性的定义中，四个等式是缺一不在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不 可的可的即即前三个等式的成立不能推出第四个等前三个等式的成立不能推出第四个等可的可的即即：前三个等式的成立不能推出第四个等前三个等式的成立不能推出第四个等 式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出 前三个等式的成立前三个等式的成立 例3例3 袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有 红白黑色另一个球涂有红白黑三种颜红、白、黑色，另个球涂有红、白、黑三种颜 色现从袋中任意取出一球，令： A 取出的球涂有红色 A= 取出的球涂有红色 B= 取出的球涂有白色 取出的球涂有黑
12、色C= 取出的球涂有黑色 则： 1 2 1 CPBPAP 1 ACPBCPABP 4 ACPBCPABP 1 ABCP 4 ABCP 例3(续)例3(续) 由此可见由此可见 BPAPABP CPAPACP CPBPBCP 但是但是 CPBPAPABCP 8 1 4 1 但是但是 这表明这表明A、B、C这三个事件是这三个事件是两两相互独立两两相互独立 的的但不是相互独立的但不是相互独立的的的，但不是相互独立的但不是相互独立的 三、n个事件的相互独立性三、n个事件的相互独立性 等式成立：个随机事件，如果下列为，设nAAA n 21 jiji kAAAAAA njiAPAPAAP1 kjikji n
13、iiiAPAPAPAAAP nkjiAPAPAPAAAP 1)( 1 miiiiii APAPAPAAAP niiiAPAPAPAAAP nm 2121 21 1)( 2121 nn APAPAPAAAP 2121 则称 A则称 A1 1，A A2 2，A An n这这n n个个随机事件相互独立随机事件相互独立。 1 1， ， 2 2， ， n n 。 说说 明明说说 明明 在上面的公式中，在面的公式中 ，最后个等式，个等式，第二行有第一行有 nn CC 32 个等式一行共有 n n C 因此共有因此共有 1032 2 nn CCCCC2 nnnnn CCCCC n 12n n 12 个等式
14、n个独立随机事件的性质个独立随机事件的性质 个随机事件相互独立这如果) 1(nnAAA个随机事件相互独立这，如果) 1( 21 nn n AAA 1)任意k (1 k n ) 个事件也是相互独立的 个随机这 nAAAA)2 1)任意k (1 k n ) 个事件也是相互独立的。 事件也相互独立 个随机这，nAAAA nmm iiii 11 )2 的一个排列，是，其中niii n 21 21 相互独立事件至少发生其一的概率的计算相互独立事件至少发生其一的概率的计算 若若A AA A A A 是相互独立的事件是相互独立的事件则则 相互独立事件至少发生其一的概率的计算相互独立事件至少发生其一的概率的计
15、算 若若A A1 1，A A2 2，A An n 是相互独立的事件 是相互独立的事件，则则 )(1)(AAAPAAAP)(1)( 2121nn AAAPAAAP )()()(1 21n APAPAP np i AP n 11 i i1 注意注意 是某随机次某试验假设独立重复地做A 次试验中则前出现次试验中表示第事件 是某一随机次某一试验假设独立重复地做 nAiA AEn i , , 至少出现一次的概率为A i 1 .:小概率事件迟早要发生此结论说明 例例4 三个臭皮匠，合成一个诸葛亮三个臭皮匠，合成一个诸葛亮 甲甲乙乙丙三人在同时间分别破译某个密码丙三人在同时间分别破译某个密码甲甲、乙乙、丙三人在同丙三人在同一一时间分别破译某时间分别破译某一一个密码个密码， 设甲译出的概率为设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为，乙译出的概率为0.7，丙译，丙译 出的概率为出的概率为0.6，求密码能译出的概率。求密码能译出的概率。 解：解：设设A、B、C分别表示甲、乙、丙译出密码的分别表示甲、乙、丙译出密码的 事件，显然事件，显然A、B、C相互独立，且密码能译 出 相互独立，且密码能译 出的概率的概率为为 P( A + B + C )=1
