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1、第二章 第五节 随机变量的相互独立性 (22) 一、随机变量的相互独立性 二、两个随机变量的函数的分布 一、随机变量的相互独立性 二、两个随机变量的函数的分布 一、随机变量的相互独立性 定义 一、随机变量的相互独立性 定义1 ,P Xx YyP Xx P Yy有 即有( , )( )( ). XY F x yFx Fy 定理定理1 独立的充分必要条件是对任意实数 x ,y 有 ( , )( )( ). XY f x yfx fy 设( X ,Y )是二维随机变量,若对任意实数 x ,y , 则称随机变量 X 与Y 相互独立. (1) 设( X ,Y )是二维连续型随机变量, 则 X 与Y相互
2、(2) 证:证: 先证充分性: 若( , )( )( ), XY f x yfx fy 则有( , )( , ) xy F x yf u v dudv 故 X 与 Y 相互独立. ( )( ) xy XY fu fv dudv ( )( ). XY Fx Fy ( )( ) xy XY fu dufv dv 再证必要性: 即( , )( )( ). XY f x yfx fy 则有 ( , )( )( ) XY F x yFx Fy 若X 与Y 相互独立， ( )( ) xy XY fu fv dudv ( )( ) xy XY fu dufv dv 由联合概率密度函数的定义知 ( )( )
3、XY fu fv 是( X , Y )的联合概率密度函数, 证毕. ( , )0,f x y 解:解:首先求 X 与 Y 的边缘概率密度函数， ( )( , ) X fxf x y dy 当 x 1时,( )0 ; X fx 则 当 0 x 1 时， 2 2 0 ( ) 3 X xy fxxdy 2 2 2. 3 xx 例例1. . 2 01, 02 ( , )3 0 xy xxy f x y 其它 设( X ,Y )的联合概率密度函数为 问 X 与Y 是否相互独立？ ( , )0,f x y 当y 2时, ( )( , ) Y fyf x y dx 又 ( )0 ; Y fy 则 当0 y
4、2时, 1 2 0 ( ) 3 Y xy fyxdx 1 02 ( )36 0 Y y y fy 其它 由于( , )( )( ), XY f x yfx fy因此 X 与Y 不独立. 1 . 36 y 则有 则有 2 2 201 ( )3 0 X xxx fx 其它 对于二维离散型随机变量, 定理定理2 立的充分必要条件是 都有 ( ,), ij x y , ijij P Xx YyP XxP Yy 即有,1,2, ijij pp pi j gg L 有下述定理: 设( X ,Y )是二维离散型随机变量,则 X 与Y 相互独 (3) ( X ,Y )的任意一对可能取值 证明从略. 例例2.
5、. 1 0 X 第一次取出是次品 第一次取出是正品 取出2件产品, 1 0 Y 第二次取出是次品 第二次取出是正品 试判断 X 与Y 的独立性. 袋中有5件产品,其中2件是次品,现从袋中逐次 设采用有放回抽取, 规定: 解解: 利用公式 可得 ( X ,Y ) 的联合分布律如下: , ij P Xx Yy Y X 01 0 1 ii P Xxp g jj P Yyp g 9 25 6 25 6 25 4 25 3 5 2 5 1 3 5 2 5 由于 | iji P XxP YyXx 所以 X 与Y 相互独立., ijij PP P 注:注: 变量是否相互独立, 变量是否相互独立. 两个随机变
6、量相互独立的概念可直接推广到 n 个随机 变量. n维随机变量 12 (,) n XXXL 定义为 121122 ( ,), nnn F x xxP Xx XxXxLL 若对于任意实数 12 , n x xxL 12 1212 ( ,)( )()() n nXXXn F x xxFx FxFxLL 则称随机变量 12 , n XXXL 在实际应用中,通常不是用定义或定理来判断随机 而是根据实际问题本身来判断随机 的联合分布函数 都有 是相互独立的. (如例2作有放回抽取) 对于n 维连续型随机变量及 n 维离散型随机变量, 也有类似于定理1与定理2的结论. 定理定理3 12 , n XXXL
7、则随机变量的函数 1122 () ,() ,() nn f XfXfXL 也是相互独立的. 设 是相互独立的随机变量, 二、二维随机变量函数的分布二、二维随机变量函数的分布 第三节已讨论了一个随机变量的函数的概率分布问题, 即已知 X 的概率分布, 求 X 的函数 Y = g (X)的分布. 下面我们把上述讨论推广到二维随机变量上去, 例例3. . Y X -101 0 1 116 516 216 316 316 216 求 X+Y 和 XY 的分布律. 即讨论 二维随机变量函数的概率分布.下面通过例子, 讨论几个 具体的二维随机变量函数的概率分布. 设( X ,Y )的联合分布律如下 解:解
8、:由( X ,Y )的联合分布律容易求得 1 16 (, )X Y 概率 2 16 3 16 5 16 3 16 2 16 (0, 1)(0,0)(0,1)(1, 1)(1,0)(1,1) XY 101012 XY00 0101 1 16 (, )X Y 概率 p XY 2 16 3 16 5 16 3 16 2 16 (0, 1)(0,0)(0,1)(1, 1)(1,0)(1,1) XY 101012 XY00 0101 从而得 X +Y 和 XY 的分布律分别为: XY p 1 1 16 0 7 16 1 6 16 2 2 16 1 5 16 0 9 16 1 2 16 例例4. . 为
9、f (x ,y) ,( ). Z fz 解:解: 设 Z 的分布函数为( ), Z Fz则 ( ) Z FzP Zz 其中( , )|Dx yxyz x y O D xyz 设二维连续型随机变量( X , Y )的联合概率密度 求Z = X + Y 的概率密度函数 P XYz(, )PX YD P XYz ( , ) D f x y dxdy ( , ) z x dxf x y dy x y O D xyz 令 t = x + y , 则 y = t x , 得 ( )( ,) z Z Fzf x tx dt dx ( ,) z dtf x tx dx 两边对 z 求导得 ( )( ,) Z
10、fzf x zx dx ( , ) z x dxf x y dy 由X 与Y 在Z 中的对称性, ( )(, ) Z fzf zy y dy 得 (4) (5) 当X 与Y 相互独立时,设其概率密度函数分别为 ( ) ,( ), XY fxfy 则有: ( )( )() ZXY fzfx fzx dx ( )()( ) ZXY fzfzy fy dy 此时( , )( )( ). XY f x yfx fy (6) (7) 201 ( ) 0 X xx fx 其它 例例5. . 0 ( ) 0 y Y ey fy 其它 求 Z = X + Y 的概率密度函数. 解解:( )()( ) ZXY
11、fzfzy fy dy 0 () y X fzy e dy 当时01zy()2() X fzyzy 已知 X 与Y 相互独立,概率密度函数分别为 (6)式和(7)式这两个积分即是函数( ) X fx( ) Y fy 与的卷积.卷积. 则 2()1 () 0 X zyzyz fzy 其它 当时，0z 0 ( )() y ZX fzfzy e dy 下面求 () X fzy在时均为0， 0y 因此； ( )0 Z fz 当时,01z() X fzy在时非0,0yz 则 0 ( )2()2(1) z yz Z fzezy dyez 当时，1z () X fzy在时非0,1zyz 则 1 ( )2()
12、2 z yz Z z fzezy dye 因此 00 ( )2(1)01 21 z Z z z fzezz ez 例例6. . ( ) X Fx ( ), Y Fy 与 max(, )MX Ymin(, )NX Y 的分布 max ( )Fz min ( ).Fz 解:解:由于max(, )MX Y ,P MzP Xz Yz max(, )MX Y 不大于Z等价于X和Y都不大于Z, 故有 立, 的分布函数为: 又由于X 和Y 相互独 设 X 与Y 相互独立,且分布函数分别为 试求 与 函数 与 得到 min ( )1FzP NzP Nz 1,P Xz Yz 1P Xz P Yz 111P XzP Yz 11( ) 1( ) XY FzF z ( )( ) XY P Xz P YzFz F z max ( ),FzP MzP Xz Yz 类似可得的分布函数为: min(, )NX Y 作业作业 第二章 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 . 预习预习: 第三章 第一.二节
