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1、 高三（上）期中数学试卷 题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A=x|f(x)=lnx，B=1,2，3，则AB=_2. 若z(1+3i)=10，则z的实部为_3. 已知a+b=(3,4),|ab|=3，则ab=_4. 已知函数f(x)=4x,x1x+3,x0,b0)的渐近线方程为y=265x，且过点(5,32)，则其焦距为_6. 已知(m,n)为直线x+y12=0上一点，且mn0，则1m+4n的最小值为_7. 若函数f(x)=cos(2x+)(0b0)的离心率e=12，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为，则c
2、os()cos(+)= _ 14. 已知函数f(x)=lnx+4xx,2，曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1)，N(x2,y2)使曲线y=f(x)上在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为_二、解答题（本大题共10小题，共132.0分）15. 在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(b2+c2a2)tanA=3bc(1)求角A；(2)若a=2，ABC的面积S=3，求1b+1c的值16. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点(1)求证：AC1/平面PBD；(2)求证：BDA1P.17. 设等差数列an的前
3、n项和为Sn，已知a1=1，S8=22(1)求an；(2)若从an中抽取一个公比为q的等比数列akn，其中k1=1，且k1k2knb0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1倾斜角的余弦值为223，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称(1)求椭圆E的离心率；(2)判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；(3)若圆C的面积为4，求圆C的方程19. 如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHIJ的一边AH在AD上，点C，D，
4、F，I在圆周上，E，J在直径上，且EOF=6，设BOC=，(6,2).若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为3：2(1)记游泳池及休息区的总造价为f()，求f()的表达式；(2)为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值20. 已知函数f(x)=lnx1x,g(x)=ax+b(1)若函数h(x)=f(x)g(x)在(0,+)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx1x图象的切线，求a+b的最小值；(3)当b=3时，若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx1x图象有两个交点，求实数a的取值范围21. 已知矩阵A=1002，B=
5、1202(1)求B2；(2)求A1B222. 在极坐标系中，圆C的圆心坐标为C(2,3)，半径为2.以极点为原点，极轴为x的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=1+22ty=22t(t为参数)(1)求圆C的极坐标方程；(2)设l与圆C的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|+|PB|23. 已知f0(x)=exsin(x+4)，记fn(x)=fn1(x)(nN*)(1)f1(x)，f2(x)，f3(x)；(2)求S4n=f0(x)+f1(x)+f4n1(x)24. 已知Sn=1+12+13+1n(1)求S2，S4的值；(2)若Tn=7n+1112，试比较S2
6、n与Tn的大小，并给出证明答案和解析1.【答案】2,3【解析】解：A=x|x0，B=1,2，3，AB=2,3故答案为：2,3可以求出集合A，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法、列举法的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】1【解析】解：由z(1+3i)=10，得z=101+3i=10(13i)(1+3i)(13i)=13i，z的实部为1故答案为：1把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.【答案】4【解析】解：已知a+b=(3,4),|ab|=3，所以|a+b|=5，则ab=14(
7、a+b)2(ab)2=(14(259)=1416=4故答案为：4利用ab=14(a+b)2(ab)2，代入即可求出答案考查平面向量积的运算，向量公式的变形用，基础题4.【答案】1【解析】解：函数f(x)=4x,x1x+3,x1，f(f(a)=16，当a1时，f(a)=4a4，f(f(a)=f(4a)=44a=16，解得a=12，不合题意当a1时，f(a)=a+3，当a+31时，f(f(a)=f(a+3)=4a+3=16，解得a=1，当a+31时，f(f(a)=f(a+3)=a+3+3=16，解得a=10，不合题意综上，实数a=1故答案为：1当a1时，f(a)=4a4，f(f(a)=f(4a)=
8、44a=16，当a1时，f(a)=a+3，当a+31时，f(f(a)=f(a+3)=4a+3=16，当a+30,b0)的渐近线方程为y=265x，可得：ba=265，双曲线过点(5,32)，可得25a218b2=1，解得a=52，b=6，所以双曲线方程为：x2254y26=1，则其焦距为：2254+6=7故答案为：7利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题6.【答案】34【解析】解：(m,n)为直线x+y12=0上一点，且mn0，m+n=12，m，n0则1m+4n=112(m+n)(1m+4n)=112(1+4+nm+4mn)
9、112(5+2nm4mn)=34，当且仅当n=2m，m+n=12，即m=4，n=8时取等号故答案为：34由(m,n)为直线x+y12=0上一点，且mn0，可得m+n=12，m，n0.于是1m+4n=112(m+n)(1m+4n)，展开利用基本不等式的性质即可得出本题考查了基本不等式的性质、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7.【答案】56【解析】解：函数f(x)=cos(2x+)(0)的图象关于直线x=12对称，212+=k，kZ，=56，函数f(x)=cos(2x+56)，故答案为：56由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得的值本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基
10、础题8.【答案】18【解析】解：在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，F为棱AD的中点，E为线段CC1上一点，可得SDFD1=1263=9，棱锥的高为6，所以棱锥EFDD1的体积为：1396=18故答案为：18求出棱锥的底面面积与高，然后求解棱锥的体积本题考查棱锥的体积的求法，是基本知识的考查，是基础题9.【答案】1【解析】解：AB对于任意的x0,2，x3x2xa0恒成立，ax3x2x对任意x0,2恒成立，设f(x)=x3x2x，f(x)=3x22x1，且f(0)=1，f(1)=0，0x1时，f(x)0；10，f(x)在x=1取得极小值，即f(x)在x=1取得最小值，f(x)在0,2上
11、的最小值为f(1)=1，a1，实数a的最大值为1根据AB即可得出ax3x2x对任意x0,2恒成立，可设f(x)=x3x2x，f(x)=3x22x1，从而可根据导数符号判断出f(x)在0,2上的最小值为f(1)=1，从而得出a1，从而可得出a的最大值本题考查了子集的定义，构造函数解决问题的方法，基本初等函数的求导公式，根据导数符号求函数极值和最值的方法，考查了计算能力，属于中档题10.【答案】12【解析】解：等差数列an的公差为2，且a2，a4，a5成等比数列，可得a2a5=a42，即有(a12)(a18)=(a16)2，解得a1=10，可得该等比数列的公比为a4a2=106102=12故答案为
12、：12运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，再由等比数列的定义，计算可得所求公比本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题11.【答案】14【解析】解：如图，已知点O(0,0)，A(2,0)，P是曲线y=x(0x1)上一个动点，设P(x,y)，y=x，则OPAP=(x,y)(x2,y)=x2+y22x=x2+x2x=x2x=(x12)214(0x1)当x=12时，函数的最小值是14，故答案为：14由A(2,0)，设P(x,y)，y=x，利用OPAP建立关于x的二次函数，求出最小值即可考查了平面向量积的运算，配方法求最值，属于中档题12
