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1、高三数学（理科） 2020-10 阶考 第 1 页 共 2 页 树德中学高树德中学高 2018 级高三上学期级高三上学期 10 月阶段性测试数学（理科）试题月阶段性测试数学（理科）试题 一、选择题： （共大题共一、选择题： （共大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1.已知集合 Px|x21，Ma.若 PMP，则实数 a 的取值范围为( ) A.1，1 B.1，) C.(，1 D.(，11，) 2.在复平面内，复数 1 1i的共轭复数对应的点位于( )
2、 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知变量 x，y 之间的线性回归方程为y 0.7x10.3，且变量 x，y 之间的一组相关数据如下表所示， 则下列说法错误 的是( ) A.变量 x，y 之间呈负相关关系 B.可以预测，当 x20 时，y 3.7 C.m4 D.该回归直线必过点(9，4) 4.(x21) 1 x2 5 的展开式的常数项是( ) A.5 B.10 C.32 D.42 5.在我国古代著名的数学名著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一 百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复 还迎
3、驽马，二马相逢问：几日相逢？( ) A9 日 B8 日 C16 日 D12 日 6.函数 f(x)lnxax 的图象存在与直线 2xy0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是( ) A.(，2 B.(，2) C.(2，) D.(0，) 7.已知函数 f(x) ex，xe， ln x，xe，则函数 yf(ex)的大致图象是( ) 8.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面 积为( ) A.8 B.4 C.4 3 D.4 2 9.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为( ) A.1 2 B.5 6 C.7 6 D. 7 12 10.将函数 f(x) 3sin 2xco
4、s 2x 的图象向左平移 t(t0)个单位后，得到函数 g(x)的 图象，若 g(x)g 12x ，则实数 t 的最小值为( ) A.5 24 B.7 24 C.5 12 D.7 12 11.抛物线x2= 2py(p 0)的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB = 60，过弦 AB 的中点 C 作该抛物线准线的垂线 CD，垂足为 D，则|AB | |CD |的最小值 为( ) A. 3 B. 1 C. 2 3 3 D. 2 12.若关于x的方程 1 0 x xx xe m exe 有三个不等的实数解 1 x， 2 x， 3 x，且 123 0 xxx，其中mR， 2.
5、71828e为自然对数的底数，则 312 2 312 (1) (1)(1) xxx xxx eee 的值为 A 2 e Be C1m D1 m 二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a，b 夹角 的余弦值为_. 14. 已知椭圆x 2 4 y 2 21 的两个焦点是 F1， F2， 点 P 在该椭圆上， 若|PF1|PF2|2， 则PF1F2 的面积是_ _. 15.已知等比数列an的各项均为正数且公比大于 1，前 n 项积为 Tn，且 a2a4a3，则使得 Tn1 的 n
6、的最 小值为_. 16. 如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻转成A1DE.若 M 为线段 A1C 的中 点，则在ADE 翻转过程中，正确的命题是_ MB 是定值； 点 M 在圆上运动； 一定存在某个位置，使 DEA1C； 一定存在某个位置，使 MB平面 A1DE. x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 高三数学（理科） 2020-10 阶考 第 2 页 共 2 页 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第 17 题第题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.
7、第第 22 题第题第 23 题为选考题， 考生根据要求作答题为选考题， 考生根据要求作答.满分满分 70 分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算过程）分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算过程） 17 （12 分） 已知函数 f(x)a b，其中 a(2cos x， 3sin 2x)，b(cos x，1)，xR. (1)求函数 yf(x)的单调递减区间； (2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，且向量 m(3，sin B)与 n (2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值. 18 （12 分） 某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节
8、能降耗技术改造, 对所辖企业是否支持改造进行问卷调 查, 结果如下表: 支持 不支持 合计 中型企业 60 30 90 小型企业 120 100 220 合计 180 130 310 (1)能否在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造与企业的规模有关”? (2)从 180 家支持节能降耗改造的企业中按分层抽样的方法抽出 12 家, 然后从这 12 家中选出 9 家进行 奖励, 分别奖励中、小型企业每家 50 万元、10 万元，记 9 家企业所获奖励总数为X万元, 求X的分 布列和数学期望. 附: 2 2 () , ()()()() n adbc Knabcd a
9、b cd ac bd 2 ()P Kk 0.050 0.025 0.010 k 3.841 5.024 6.635 19. （12 分） 如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120 ，A1A4，C1C1， ABBCB1B2. (1)证明：AB1平面 A1B1C1； (2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值 20. （12 分） 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21 过 A(2，0)，B(0，1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线
10、PB 与 x 轴交于点 N，求证：四 边形 ABNM 的面积为定值. 21. （12 分） 已知函数 f(x)ex1xax2. (1)当 a0 时，求证：f(x)0； (2)当 x0 时，若不等式 f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)若 x0，证明：(ex1)ln(x1)x2. （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答作答 时请写清题号）时请写清题号） 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中, 直线l
11、的参数方程为 3 2 5 4 2 5 xt yt ( t为参数), 它与曲线 22 :(2)1Cyx 交于,A B两点. (1)求|AB; (2)以O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 设点P的极坐标为 3 (2 2,) 4 , 求点P到线段AB中点M的距离. 23. 选修 4-5：不等式选讲 （10 分） 已知函数 f(x)|xa|. (1)若不等式 f(x)3 的解集为x|1x5，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)f(x5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围. 高三数学（理科） 2020-10 阶考 第 3 页 共 2 页 树德中学高树德中学高
12、 2018 级高三上学期级高三上学期 10 月阶段性测试数学（理科）试题参考答案月阶段性测试数学（理科）试题参考答案 1. A 2. D 3.C 4.D 5. A. 6.B 7.B 8.D 9. B 10. B 11.B 12. A 13.1 3 14. 2 15. 6 16. 17. 解 (1)f(x)2 cos2x 3sin 2x1cos 2x 3sin 2x12cos 2x 3 ， 令 2k2x 32k(kZ)，解得 k 6xk 3(kZ)， 函数 yf(x)的单调递减区间为 k 6，k 3 (kZ). (2)f(A)12cos 2A 3 1，cos 2A 3 1，又 32A 3 7 3
13、 ， 2A 3，即 A 3. a 7，由余弦定理得 a2b2c22bccos A(bc)23bc7. 向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线， 2sin B3sin C，由正弦定理得 2b3c， 由得 b3，c2. 18.解: (1) 2 2 310 (60 10030 120) 3.854 90 220 180 130 K , 因为3.8543.841, 所以能在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造 与企业规模有关”.(4 分) (2)由题可知支持节能降耗技术改造的企业中, 中小型企业数之比为 1:2, 按分层抽样得到的 12 家中, 中、小
14、型企业分别为 4 家和 8 家. 设9家获得奖励的企业中, 中, 小型企业分别为m家和n家, 则( , )m n可能为(1,8),(2,7),(3,6),(4,5). 与之对应, X的可能取值为130,170,210,250.(6 分) 18 48 9 12 1 (130) 55 C C P X C , 27 48 9 12 12 (170) 55 C C P X C , 36 48 9 12 28 (210) 55 C C P X C , 45 48 9 12 14 (250) 55 C C P X C . (10 分) X的分布列如下: X 130 170 210 250 P 1 55 1
15、2 55 28 55 14 55 11 22 81 4 ()1 3 01 7 02 1 02 5 02 1 0 5 55 55 55 5 E X . (12 分) 19. (1)证明 如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐 标系 Oxyz.由题意知各点坐标如下： A(0， 3，0)，B(1，0，0)，A1(0， 3，4)， B1(1，0，2)，C1(0， 3，1)因此AB1 (1， 3，2)， A1B1 (1， 3，2)，A1C1 (0，2 3，3) 由AB1 A1B1 0 得 AB1A1B1.由AB1 A1C1 0 得 AB1A1C1，A1B1A1C1A1， 所以 AB1平面 A1B1C1. (5 分) (2)解 设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为 . 由(1)可知AC1 (0，2 3，1)，AB (1， 3，0)，BB1 (0，0，2) 设平面 ABB1的法向量 n(x，y，z) 由 n AB 0， n BB1 0， 即 x 3y0， 2z0
