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1、3.1空间向量及其加减与数量运算,浙江省玉环县楚门中学吕联华,平面向量,空间向量,具有大小和方向的量,具有大小和方向的量,几何表示法,几何表示法,字母表示法,字母表示法,向量的大小,向量的大小,长度为零的向量,长度为零的向量,模为1的向量,模为1的向量,长度相等且方向 相反的向量,长度相等且方向 相反的向量,长度相等且方向相同 的向量,长度相等且方向相同的向量,定义,表示法,向量的模,零向量,单位向量,相反向量,相等向量,一：空间向量的基本概念,O,A,B,结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 内，成为同一平面内的两个向量。,思考：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么
2、？,O,说明,空间向量的运算就是平面向量运算的推广,2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。,加法交换律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,例如:,三、空间向量的数乘运算,四、空间向量加法与数乘向量运算律,加法交换律：,a + b = b + a；,加法结合律：,(a + b) + c =a + (b + c)；,a,b,c,a + b + c,a,b,c,a + b + c,a + b,b + c,（3）.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,五、共线向量:,零向量与任意向量共线.,由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题,中点公
3、式：,若P为AB中点, 则,3.A、B、P三点共线的充要条件,A、B、P三点共线,六、共面向量:,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量,既可能共面，也可能不共面,由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， 使,如果空间向量 与两不共线向量 ， 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有,那么什么情况下三个向量共面呢？,反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位 置关系？,C,2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共
4、线，,则向量 与向量 ， 共面的充要条件是,存在实数对x,y使,C,3.空间四点P、A、B、C共面,实数对,例1、给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量 满足 ，则 ； （3）在正方体 中，必有 ； （4）若空间向量 满足 ，则 ； （5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,C,例2,解：,设M是线段CC的中点，则,解：,设G是线段AC靠近点A的 三等分点，则,G,解：,例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
5、 求满足下列各式的x的值。,例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,解：,例3：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,解：,例4:,B,2.对于空间中的三个向量 它们一定是： A.共面向量B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线又不共面向量,A,3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 意一点O， ,则x 的值为：,D,4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？,例5.如图，已知平行四边形ABCD，过平 面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 求证： 四点E、F、G、H共面； 平面EG/平面AC.,O,B,A,H,G,F,E,C,D,例5 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,小结,共面,
