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1、2.1.2空间中直线与 直线之间的位置关系,平面的基本性质 公理1,公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.,作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据,集合符号表示,平面经过这条直线,知识回顾,平面的基本性质 公理2,公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.,作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内,集合符号表示,“不共线的三点确定一个平面”,已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面，使得A、B、C,知识回顾,公理2推论,推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行直线，有且只有
2、一个平面。,平面的基本性质 公理3,公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,作用：判断两个平面位置关系的基本依据,知识回顾,判断下列命题对错： 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。（ ） 2.将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。 （ ） 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。 （ ） 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5.如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。 （ ）,温故知新,复习：平面内两条直线的位置关系,相交
3、直线 （有一个公共点）,平行直线 （无公共点）,两路相交,立交桥,立交桥中, 两条路线AB, CD,既不平行，又不相交,观察实例,两条直线的位置关系,思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？,C,1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？,2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？,两条直线的位置关系,如图, 长方体ABCD-ABCD中，线段AB所在直线分别与线段CD所在直线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何?,观察,不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。,没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,1.异面直
4、线的定义,A,a,空间两条直线的位置关系,1、平行,a,b,没有公共点,2、相交,b,A,a,3、异面,没有公共点,b,只有一个公共点,2.异面直线的画法,说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.,如图：,(1),(3),(2),a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？,思考,按是否在 同一平面内分,同在一个平面内,相交直线,平行直线,不同在任何一个平面内:,异面直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无公共点,平行直线,异面直线,空间直线
5、与直线之间的位置关系,3.异面直线的判定方法：,(1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.(借助反证法),(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线,两条直线的位置关系,A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.,关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？,问题,练习：判断下列说法的对错,1、分别在两个平面内的两条直线一定是 异面直线；,3、a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异
6、面直线；,4、a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面,F,F,F,F,(1)在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线？,A,B,C,D,A1,B1,D1,C1,已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？,A,B,C,D,A1,B1,D1,C1,M,N,如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?,探究,直线EF 和直线HG,直线AB 和直线CD,直线AB 和直线HG,答：3对,平行直线,如图, 在长方体ABCDABCD中, BBAA，DDAA，那么BB
7、与DD平行吗 ?,观察,答：平行,二、空间直线的平行关系,若ab，bc,1、平行关系的传递性,公理4 平行于同一直线的两直线互相平行,则ac,空间中的平行线具有传递性,平行直线,平行直线,已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？,三条平行线共面,三条平行线不共面,问题,公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.,注： 1.直线a，b，c 两两平行，可记为a / b / c .,2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性.,3.证明空间两直线平行 的方法： (1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法,平行
8、公理,例2 如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.,D,变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？,立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的一种方法。,在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？,探究,答：四边形EFGH是菱形,1 、已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、 CD上的点，且 ，求证：四 边形EFGH是梯形,跟综练习:,四边形EFGH是梯形,练习2.在一块长方体形状木块的面AC上有一点P，过点P画一条直线和棱C 1D1平行
9、，说明应该怎么画.,解：,如图（1）在平面ABCD上过点P作直线,MNCD，分别交AD，BC于M、N，,则由公理4得，MNC 1D1.,图（1）,D,C,A,B,A,1,B,1,D,1,C,1,P,看一看:,平面上一个角两边与另外一个角两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,等角定理,如图,四棱柱ABCD-ABCD的底面是平行四边形，ADC与ADC, ADC与BAD的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?,思考2:,ADC=ADC,ADC+BAD=1800,等角定理,定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,等角定理推论：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方
10、向相同，那么这两个角相等.,如图，在空间中AB/ AB，AC/ AC，你能证明BAC与BAC 相等吗？,思考3,等角定理1:如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.,等角定理,平面内两条直线的夹角:,思考:异面直线不相交,那他们会不会有夹角呢?,相交直线构成的四个角中小于或等于 的角。,如图所示，a，b是两条异面直线，,在空间中任选一点O，,过O点分别作 a,b的平行线 a和 b,a,b,则这两条线所成,的锐角（或直角），,称为异面直线a，b所成的角.,？,任选,若两条异面直线所成角为9
11、0,则称它们互相垂直.,异面直线a与b垂直也记作ab.,平移,4.两条异面直线所成的角,异面直线所成角的定义,设a、b为两异面直线，在空间任选一点O,过O点分别作直线 ，我们把 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.,a,b,一般来说，点O常取在两条异面直线中的一条上。,O点的取法：,a,b,a,b,a,1,O,返回,特别:夹角为直角称为两异面直线垂直.记作,考一考: 在空间中可如何表示?,相交,异面,注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.,注2:异面直线所成角的取值范围：,注3:求异面直线所所成角的步骤：
12、一作、二证、三求解,选点 平移 定角 计算,异面直线所成的角,探究,（1）在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？,（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？,（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？,垂直,异面直线所成的角,例3 已知正方体 ,（1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？,（2）直线 和 的夹角是多少？,（3）哪些棱所在的直线与直线 垂直？,解:（1）由异面直线的定义可知，,棱 所在的直线分别与直线 是异面直线,（2）由 可知，,为,异面直线 与 的夹角， ， 所以 与 的夹角为 ,异面直线所成的角的求法:,一作(找
13、)二证三求,(1)通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间 问题转化为平面问题。(取点,平移,作角) (2)利用平面几何知识，求出异面直线所成角的大小。 (构建与所作角有关的三角形,求角的大小) (3)作结论.(异面直线所成的角不大于90),练习 在正方体ABCDA1B1C1D1中,指出下列各对线段所成的角：,练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？,1）AB与CC1；,2）A1 B1与AC；,3）A1B与D1B1。,1）AB与CC1所成的角,9 0,2）A1 B1与AC所成的角,4 5,3）A1B与D1B1所成的角,6 0,2）与棱BB1垂直的棱有：,
14、A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,相交：,异面：,垂直,相交垂直,异面垂直,1）直线AD1与B1C所成的夹角,9 0,练习1:判断下图正方体中每对异面直线所成的角是多少？,1. A1B与D1C1,2. A1B与C1C,3. A1B与CD,4. A1B与C1D,6. B1B与AD,7. A1B与B1C,5. A1B与B1D1,45,45,45,90,60,90,60,练习2：如图，在正方体中，与A1B成45 角的棱有（ ）条,A、2 B、3 C、6 D、8,D,练习3：如图，在长方体中， AA1=2，试求： 1、BC与A1C1所成角大小？ 2、 AA1和BC所成角的大小？,练习4：设点P是
15、直线l外一点，过P与l成30角的异面直线有（ ）,A、无数条 B、两条 C、至多有两条 D、一条,A,练习5：在四面体ABCD中，AD=BC，且ADBC，EF分别为AB、CD的中点，则EF与BC所成角为多少度？,A,B,C,D,E,F,45,思考题： 1、a与b是异面直线，且ca，则c与b一定（ ）。 （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数是（ ）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（ ）平面。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个,D,A,B,4空间两直线平行是指它们（ ） A无交点 B共面且无交点 C和同一条直线垂直 D以上都不对,5在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角（ ） A相等 B互补 C相等或互补 D既不相等也不互补,B,C,练习6：已知异面直线a，b所成角为50，P为空间一点，则过P点与a，b所成角都是30 直线有几条？,2条,在如图所示的长方体中，AB= ，且 AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.,30O,
