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1、1.3.2 正方形的判定,菱形,矩形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,复习回顾,边:四边相等,角 ：四个角都是直角,图形的对称性：既是轴对称图形, 又是中心对称图形.,正方形的性质,想一想,如果将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？,你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）,思考,有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形。,有一个直角,矩形,一组邻边相等,菱形,一组邻边相等,正方形,有一个直角,有一组邻边相等的矩形是正方形,有一个角为直角的菱形是正方形,特殊的矩形,特殊的
2、菱形,特殊的 平行四边形,一组邻边相等,有一个直角,正方形的判定方法：,(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）,定义法,平行四边形,矩形,菱形,正方形,对角线相等,对角线垂直,对角线相等,对角线垂直,对角线垂直且相等,第十九章 四边形,正方形的判定方法还有哪些？,4.对角线相等的菱形是正方形。,正方形的判定方法：,5.对角线垂直的矩形是正方形。,已知：在菱形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，且AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形。,正方形的判定方法：,5.对角线垂直的矩形是正方形。,已知：在矩形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，且ACBD. 求证：四边形ABCD是正方形。,
3、1、 叫正方形。 2、有 的矩形是正方形。 3、对角线 的矩形叫正方形。 4、有 的菱形是正方形。 5、对角线 的菱形叫正方形。,正方形的判定,有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形,有一组邻边相等,互相垂直,一个角是直角,相等,、对角线相等的菱形是正方形。,、对角线互相垂直的矩形是正方形。,、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。, 四条边都相等的四边形是正方形。,、四个角都相等的四边形是正方形。,、四边相等，有一个角是直角的四 边形是正方形。,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？,真,真,假,假,假,真,已知：如图，在矩形ABCD中，
4、BE平分 ABC，CE平分 DCB，BFCE，CF BE. 求证:四边形BECF是正方形.,例题,如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？,猜想结论，分组验证,特殊四边形的中点四边形：,平行四边形的中点四边形是平行四边形,菱形的中点四边形是矩形,矩形的中点四边形是菱形,正方形的中点四边形是,猜想结论，分组验证,正方形,P23做一做 已知：如图，点A1、B1、C1、D1分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点。 求证：四边形A1B1C1D1是正方形。,A B D C,A1 D C,B1,C1,D1,E,F,O,1,2,归纳： 一般四边形的中点四边形：
5、 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。,猜想结论，分组验证,P23议一议,课堂小结,1.本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？ 2.通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？,作业,P25习题1.8 第2,3题,特殊四边形的中点四边形：,等腰梯形的中点四边形是菱形,直角梯形的中点四边形是平行四边形,梯形的中点四边形是平行四边形,猜想结论，分组验证,对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形,对角线相等的四边形的中点四边形是菱形,对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形,对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行
6、四边形,猜想结论，分组验证,归纳： 特殊四边形的中点四边形： 平行四边形的中点四边形是平行四边形 矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形,猜想结论，分组验证,学以致用,ABCD是 凸四边形,AB、AD在同一线段上,ABCD是 凹四边形,ABCD是 扭曲四边形,拖动A点使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？,结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形,图形发散练习,5种识 别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直
7、角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（ ） (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ） (3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （ ） (4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ ） (5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（ ）,快速反应,判断题:,（6）正方形一定是矩形（ ） （7）正方形一定是菱形（ ） （8）菱形一定是正方形（ ） （9）矩形
8、一定是正方形（ ） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形 （ ）,（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( ),(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( ) (14)四条边都相等的四边形是正方形 ( ),1、下列命题正确的是（ ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,选择题:,2四个内角都相等的四边形一定是（ ） A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形,3在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）AAOBOCODO，ACBD BADBC A
9、C CAOCOBODOABBC DACBD,C,A,5 四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（ ） A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,A,4. 已知在ABCD中， A=90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） AD=90 B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD,D,6、顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是 （ ） 正方形 菱形矩形梯形,顺次连结菱形的各边中点，所得的四边形一定是（ ） 正方形 菱形 矩形 平行四国边形,顺次连结正方形的各边中点，所得的四边形一定是（ ） 正方形 菱形 矩形 平行四国边形,B,C,A,以四边形各边
10、中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线 段有关系？有怎样的关系？,应用举例：,1 已知：如图点A 、 B 、 C、D分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA=BB=CC=DD 求证：四边形ABCD是正方形,、由已知正方形证三角形全等； 、证得菱形； 、再证直角； 、是正方形,证题思路分析,上一页,例1 已知：如图，在正方形ABCD中，AA=BB=CC=DD 。 求证：四边形ABCD是正方形。,证明：四边形ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA,又AA=BB=CC=DD DA=AB=BC=CD,A=B=C=D=90 AADBBACCBDDC,四边形ABCD是菱形,又ADA=BAB， AA
11、D+ADA=90 AAD+BAB=90 ,DAB=180（AAD+BAB）=90 四边形ABCD是正方形。,思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。,探究四： 如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？,探究三: 若正方形OEFG继续旋转时，AM 与 BN之间的关系是否还
12、成立？,3、 直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形（ ), DE=DF( ),DEAC， DFBC, CD平分ACB, 四边形ABCD为矩形( ),而ACB=90, DEC=90， DFC=90,证明： DEAC，DFAB,有三个角是直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1) ACFDCB (2) BHAF,练一练,2、如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS) CEAABG,3、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数。,
