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1、任意角的三角函数第一课时教学设计一、教学内容分析 本节课的教学内容是普通高中课程标准实验教科书数学（4） （人教 A版） 。三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身, 并在这个过程中突出单位圆的作用。二、学生学
2、习情况分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、教学目标（一）情感态度与价值观1 激发学生学习兴趣2 激发学生探求新知欲望3 数学概念的严谨性与科学性（二）过程与方法通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。（三）知识与技能1掌握任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。（能根据任意角的三角函数的定义求出具
3、体的角的各三角函数值，能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。）2在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。（根据角的终边与单位圆的交点的坐标写出角的各三角函数值，及各三角函数的定义域，利用单位圆的几何特征写出正弦、余弦的值域。）3在概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。（知道概念所在的体系，知道任意角的三角函数与锐角三角函数、函数、指、对数函数等之间的关系，利用单位圆的几何特征研究三角函数的方法。）四、教学重点和难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义. 难点: 用单位圆上点的坐标刻画三角函数。学生熟悉的函数 y=f(x)是实数到实数的对应，而这里给出的函数首先是实数（弧度制）到
4、点的坐标的对应，然后才是实数（弧度制）到实数（横坐标或纵坐标）的对应，这就会给学生的理解造成一定困难。五、教学过程设计问题 1 请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？（设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点，扎实的固着点。）师生活动：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角
5、三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。解答过程：（1）再现锐角三角函数的定义：如图 1，在直角 POM 中， M 是直角，那么 。（2）坐标化：如图 2，建立平面直角坐标系，设点 P 的坐标为（ x， y），那么 ，于是问题 2 改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？（设计意图：说明这三个比值与终边上点的位置无关）师生活动：教师利用几何画板演示点 P 在终边上滑动的过程，计算比值，学生观察比值的变化情况，得到具体认识，由相似三角形的性质证明。问题 3 既然三个比值与点 P 在终边上的位置无关，则能否取适当的点 P 使比值简化？（设计意图：引入单位圆
6、，点 P 为终边与单位圆的交点，使正弦值用点 P 的纵坐标表示，余弦值用点 P 的横坐标表示，体现由一般到特殊的思想。师生活动：教师引导学生考虑点 P 到原点的距离，当距离为 1 时，可使比值化简。解答过程：单位圆中定义锐角三角函数：如图 3，线段 OP=1，点 P 的坐标为（ x， y），那么锐角 的三角函数可以用坐标表示为：。依据：三角形相似，比值与具体的点的位置没有关系。问题 4：上述定义是借助于单位圆，利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，请你写出任意角的三角函数的定义。分小组分别写出角 的终边位于第二、三、四象限和 x 轴、 y 轴上时的三角函数。（设
7、计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式：分小组针对不同位置的角分别写出其三角函数。这样将问题具体化，学生容易着手解决。写出定义的过程也是巩固推广的过程，而且这样做尽可能避免出现学生用计算器算 cos 的现象。）师生活动：由学生分组独立完成之后再展示交流，形成具体而全面的认识。学生可能
8、会在写出任意角的三角函数的定义时出现困难，教师的帮助不要具体，而是在思维上引导用坐标表示，并引导学生正确认识三角函数的定义域。结论：给出任意角的三角函数的定义：。问题 5：探究定义中角 与点的坐标的对应关系。（设计意图：通过对应关系的认识，深化对定义的理解。）师生活动：教师引导学生以正弦为例，考虑角 与纵坐标 y 是否满足函数关系，特别注意角 用弧度数表示时是一个实数。类似得出余弦与正切也满足函数关系。问题 6：根据上述过程，你能写出三角函数的定义域吗？（设计意图：顺势而为，形成定义，并将三角函数的定义进行同化，通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解，达到对概念的初步精致。）例 1
9、求 的正弦、余弦和正切值。53（设计意图：。通过例 1 熟悉定义，并有意识利用终边上点的坐标来求三角函数值，突破原有知识的限制。）师生活动：由学生自主完成，然后点评 练习（P15 练习 3）完成下列表格中的前两列：例 2 已知角 的终边经过点 P（3，4），求角 的正弦、余弦和正切值。（设计意图：通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。）分析：通过相似求出角 的终边与单位圆的交点坐标，之后再根据定义求解。解：如图 6，由已知可得： |OP 0|= 。设角 的终边与单位圆交于点 P（ x， y）,分别过点 P 和 P0作 x 轴的垂线MP，M 0P0，则又|OP|=1，根据 ，可得 ，即 ，所以
10、， 。所以 。（说明：上述书写过程基本与例 1 统一，这样可以将该题目的求解思路同化，降低学习难度。）问题 7 通过本课时的学习你有哪些收获，请从知识、思想方法经验等方面进行小结。此外你还有哪些需要质疑之处。（设计意图：引导学生小结，并进一步思考。通过质疑引导学生全面认识三角函数，虽然在课堂上不研究其他 3 个三角函数，但是可以让学生有一个全面的认识，培养思维的严谨性。通过三角函数定义的一般化，引导学生用辩证的观点认识事物，理解三角函数。）思想方法：教师在学生总结的基础上进行再概括时，应注意思想性，例如在得出用单位圆上点的坐标定义三角函数的过程中的化归思想，用一般的函数概念指导三角函数研究的思
11、想等。（略）；经验：用函数的观点认识三角函数，用单位圆的几何特征研究三角函数。拓展 1：3 个数可以形成 6 个比值，为什么只对其中的三个比值进行定义和研究，其他 3 个比值又能对应什么函数呢？有兴趣的同学可以自己查阅资料进行研究。拓展 2：通过求解例 2，你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢？请阅读教材的旁白。这是三角函数定义的等价定义。 六、目标检测设计1P15 练习 1，2，3；（设计意图：初步应用定义和等价定义。）2习题 1.2A 组 2。（设计意图：培养学生类比、对比解决问题能力。）3完成教材 P13 的探究，之后完成 P15 练习 4，6，把结果填在书上。（设计意图：将作业作为
12、课堂教学的延伸，培养学生自主学习的能力和习惯。）七设计思路1突出单位圆的作用。具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆写出定义域及正弦、余弦的值域；第四是在例 2 的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。2用函数同化三角函数。给出任意角的三角函数的定义之后，用函数的定义对三角函数进行分析，将之纳入到已有的认知结构中，并使得原有认知结构发生顺应变化。3力求在数学的自然、必要和学生的认知之间寻找平衡点。根据听课时出现的问题，在本教学设计中采取了下列处理方式。（1）先坐标化再引入单位圆，降低认知台阶。从锐角三角函数到任意角三角
13、函数这一段的处理基本尊重教材，这是因为在听课过程中发现如果将“坐标化”与“单位圆”两个问题同时抛给学生，虽然能体现出做这两个工作的必要性，但是跨度较大，学生感到困难，解决问题的过程费时费力，不但不能使学生感受到学习的必要性，反而制约了学生的思维。（2）将问题分解、具体化，通过具体认识一般。在形成任意角的三角函数的定义时将问题解剖，并采取分组合作的组织方式，旨在将抽象的问题具体化，降低难度。让学生根据角的不同位置写出定义，特别是对于象限角也进行了相同的处理办法，这是因为学生的思维从具体问题开始，而且要形成“初始效应”，在新概念学习伊始就使得它植根于学生的已有认知结构中，并形成强烈的意识用新定义解决问题，而不再用计算器或其他办法。（3）解题思路求同，强化定义的作用。例 1、例 2 两个题目的解决思路都是相同的：先求出角的终边与单位圆交点的坐标，之后再根据定义求解。差别在于求角的终边与单位圆交点的坐标的具体方法不同，这些求法都是学生已经具备的技能。据此建议教材中将例 2 的解题过程修改，将利用相似求线段长的计算前置，分步完成即降低了难度，又统一了思路，突出了定义的作用。（4）将作业作为课堂教学的有效延伸，给学生思考的空间。作业中的第 3 项的设计，其意是使得学生的作业不但有模仿的，更有需要独立思考的，培养学生的能力。
