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1、二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,例3.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,例3.,某厂要用铁板做一个体积为2,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的
2、尺寸时, 才能使用料最省?,无条件极值:,对自变量只有定义域限制,三、条件极值,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,
3、下的极值.,在条件,例5.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,例6：已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),则,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点 C 与 E 重合时,
4、三角形,面积最大.,3.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱
5、体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,二重积分的概念与性质,第一节,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,4)“取极限”,令,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲
6、线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,如果 在D上可积,与划分D的分割方法无关,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,曲顶柱
7、体体积:,平面薄板的质量:,对二重积分定义的说明：,（3） 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,三、二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,特别, 由于,则,5. （比较定理）若在D上,6. （估值定理）设,D 的面积为 ,则有,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理,
8、至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,例3. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,对称性：1 设,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,2、当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,3、当区域关于 原点对称, 函数关于变量 x、y 同时有奇偶性时,
9、 仍,有类似结果.,4、当区域关于y=x对称, 则,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,第二节,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,例1. 计算,其中D 是直线 y1,
10、x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,作草图、选择类型、确定上下限-,后积先定限、限内化条线,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解1:,及直线,1,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解2: 为计算简便, 后对 y 积分,及直线,则,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,先对 x 积分不行,说明:,选择积分序的原则：,先积分的容易，并能为后积分创造条件； 积分域的划分，块数越少越好,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,例5. 计算
11、,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,二、利用极坐标计算二重积分,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线 =常数, 分划区域D 为,在极坐标系下, 用同心圆 =常数,对应有,在,内取点,即,则,1、极点在边界外,注意：积分域的边界曲线用极坐标表示,如何确定上下限？,2、极点在边界上,(1),(2),3、极点在边界内,何时选用极坐标？,积分域D形状：圆域、环域、扇域、环扇域,被积函数形式：,例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用例6可得到一个,反常积分公式,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,由对称性可知,o,例8:,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,例9. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,
