2019通信原理第2章ppt课件

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1、2.1引言 2.2随机过程描述 2.3平稳随机过程 2.4高斯随机过程 2.5随机过程通过线性系统 2.6窄带随机过程 2.7正弦波加窄带高斯噪声,第 2 章随机过程,返回主目录,2.1 引言 自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类。一类是其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为确定性过程。 而另一类过程没有确定的变化形式，也就是说没有一个确定的变化规律，用数学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为随机过程。,在通信领域，遇到的信号都具有某种随机性，如语音信

2、号，视频信号。而通信网中必然有噪声的存在，噪声更不能预测，统称为随机噪声。随机信号和噪声的变化表现在时间的进程中，是一个随机过程。分析研究通信系统总离不开对信号和噪声的分析，就需要随机过程的理论来分析。,2.2随机过程的描述,设是一个随机变量，则的取值是随机的，如果随时间t改变，表示为(t)，这时称(t)是一个随机过程。 随机过程的特征有： （1）在给定的观察时间内，是时间t的函数。 （2）在任一时刻上观察到的值不确定，是一个随机变量,例如，从t=0时刻开始，用”无数个” 完全一样的“录音机在车辆来往的马路上录音，记录噪声的波形，记录的n条曲线是完全不相同的波形。每一条波形就是随机过程的一个实

3、现 如图 2 - 1 所示。 ,随机过程与随机变量的不同： （1）随机变量的样本空间是一个实数集合 （2）随机过程的样本空间是一个时间函数的集合。 因此，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。,2.2.2随机过程的统计特性 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。 我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率P(t1)x1，简记为F1(x1, t1)，称为随机过程(t)的一维分布函数。即F1(x1,t1)=P(t1)x1 (2.1 - 1) 如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即

4、有,则称f1(x1, t1)为(t)的一维概率密度函数。,显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数和多维分布函数。 任给两个时刻t1, t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量(t1), (t2)，称 F2(x1,x2; t1,t2)=P(t1)x1, (t2)x2 为随机过程(t)的二维分布函数。 如果存在,则称f2(x1,x2; t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。 ,同理，任给t1, t2, , tnT, 则(t)的n维分布函数被定义为Fn(

5、x1,x2,xn; t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn 如果Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)对x1,x2,xn的偏导数存在，则称,为(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。 ,2.2.3随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 1. 数学期望 设随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值(t

6、1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则(t1)的数学期望为 ,注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是,a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。 2. 方差 方差是随机过程在均值上下波动程度的一种统计特征。,D(t)常记为2(t)。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。 均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，常用协方差函数B(t1, t2)和相关

7、函数R(t1, t2)来表示。 3. 相关函数 协方差函数定义为,B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) = f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2, 式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。相关函数定义为 B(t1, t2)= E (t1) (t2),二者关系为 B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2),若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1, t2)可表示为R(t

8、1, t1+)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔,即相关函数是t1和的函数。 ,2.2平稳随机过程,2.2.1定义 在实际应用中。特别是通信中所遇到的大多属于平稳随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。也就是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即满足 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, , xn; t1+h, t2+h, , tn+h) (2.2 - 1) 则称(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。 具体到它的

9、一维分布, 则与时间t无关， 而二维分布只与时间间隔有关，即有,f1(x1, t1)=f1(x1) (2.2 - 2) 和 f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2; ) (2.2 - 3) 于是，平稳随机过程(t)的均值,即期望为一常数。同样，可以证明平稳随机过程的方差 2(t)=2=常数。 而平稳随机过程(t)的自相关函数,R(t1, t2)=E(t1)(t1+),仅是时间间隔=t2-t1的函数，即,R(t1, t1+)=R(),注意到式（2.2 - 1）定义的平稳随机过程对于一切n都成立， 这在实际应用上很复杂。 但一个随机过程的仅仅满足期望和方差是常数，自相关函数是的函

10、数，这些只涉及一维和二维数字特征，此时称它为严平稳随机过程。,通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程， 简称平稳过程。,2.2.2各态历经性 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性， 称为“各态历经性”。 “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从随机过程的任意一个样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。,也就是

11、说，假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为,注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。 ,2.4高斯随机过程,2.4.1定义 高斯过程又称正态随机过程，在通信领域普遍存在，如信道中的噪声通常就是一种高斯过程。 定义：随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。,重要性质： （1）如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布与时间起点

12、无关。 所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 ,（2） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的 （3）高斯过程通过线性网络，输出仍是高斯过程,2.4.2高斯过程的统计特性 以后分析问题时，会经常用到高斯过程中的一维分布。高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为,式中，a为高斯随机变量的数学期望，2为方差。f(x)曲线如图 所示。, 由式（2.4 - 1）和图可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2) （2.4 - 2）,且有,图 高斯分布的密度函数,（2.4 - 3）,（3） a表示分布中心，表示集

13、中程度，f(x)图形将随着2的减小而变高和变窄。 （4）当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。,（2.4 - 4）,2.4.3高斯白噪声 信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，这种噪声被称为白噪声. 白噪声的功率谱密度函数为： 双边谱密度： 单边谱密度： ,它是一个理想的宽带随机过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。,R()仅在=0处才有值，这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。,如果白噪声又是服从高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。 应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是

14、不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。,显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即,带限白噪声 若白噪声被限制在（-f0, f0）范围内，即在该频率区上有P0()=n0/2,而在该区间外P0()=0，即,P0()=,n0/2 0 其他,图 带限白噪声的功率谱和自相关函数,其自相关函数为,由此可见，带限白噪声只有在=k/2f0(k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。这是一个很重要的概念。,2.5窄带随机过程,任何通信系统都有发送机和接收机

15、，通常在接收机的输入端有一个带通滤波器，信道内的噪声经过带通滤波器之后就变成了窄带随机过程。 所谓窄带系统，指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。,n(t),图2-5-2 窄带过程的频谱和波形示意,实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图2 5-2所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。 ,因此，窄带随机过程(t)可用下式表示: (t)=a(t) cosct+(t), a(t)0 (2.

16、5 - 1) 等价式为 (t)=c(t)cosct-s(t)sinct (2.5 - 2) 其中c(t)=a(t)cos(t) (2.5 - 3) s(t)=a(t) sin(t) (2.5 - 4) 式中, a(t)及(t)分别是(t)的随机包络和随机相位， c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量。 由此看出，(t)的统计特性可由a(t)，(t)或c(t),s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。,2.5.1同相和正交分量的统计特性 设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差为2。下面将证明它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与(t)具有相同的方差。 1. 数学期望 对式（2