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1、第二章 系统的数学模型,2.1 概述 2.2 系统的微分方程 2.3 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换 2.4 系统的传递函数 2.5 系统的传递函数方框图及其连接 2.6 典型环节的传递函数,第二章 系统的数学模型,本章教学大纲,本章教学大纲,1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。,教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典 型环节传递函数、方框图等效变换,第二章 系统的数学模型,2.1 概 述,2.1 概 述,一、
2、数学模型 1. 定义 2. 种类 3. 研究领域,定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间关系的数学表达式。,微分方程、差分方程、统计学方程、传递函数、频率特性、各种响应式等。,时间域微分方程、差分方程、状态方程；,复数域传递函数、脉冲传递函数；,频率域频率特性。,第二章 系统的数学模型,数学模型,反映系统在恒定载荷或缓变载荷作用下或在系统平衡状态下的特性；,静态模型,用于研究系统在迅变载荷作用下或在系统不平衡状态下的特性；,动态模型,在一定条件下，动态模型可以转换为静态模型。,动态模型是描述系统的动态历程的，机械工程控制论研究的是机械工程技术中广义系统的动力学问题，所以往
3、往需要采用动态数学模型，即需要建立微分方程或差分方程来描述系统的动态特性。,2.1 概 述,第二章 系统的数学模型,二、建立数学模型（建模）的方法 一个“合理”的数学模型应该以最简化的形式、准确地描述系统的动态特性。,2.1 概 述,建 模 方 法,1. 分析法（解析法）,根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法（列写数学表达式）。,2. 实验法,根据实验数据进行整理，并拟合出比较接近实际的数学模型。,第二章 系统的数学模型,三、线性系统与非线性系统 1. 定义,能用线性微分方程描述的系统为线性系统，否则为非线性系统。,2. 分类,线性定常系统：,线性时变系统：,非线性系统：,2.1
4、 概 述,第二章 系统的数学模型,3. 特性 线性系统满足叠加原理，即具有叠加性；非线性系统不满足叠加原理。 叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出等于各个输入单独作用而产生的输出之和。 和的响应等于响应之和。,2.1 概 述,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,2.2 系统的微分方程,微分方程,在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型，或称为运动方程。利用微分方程可得到描述系统（或元件）动态特性的其他形式的数学模型。,如：,一、列写微分方程的一般方法,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,1.确定系统的输入量和输出量；,2.按信号传递的顺序，从系统输入端出发
5、，根据各变量 所遵循的物理定律列写系统中各环节的动态微分方程；,3.消除中间变量,得到只包含输入量和输出量微分方程；,4.整理所得到的微分方程，将与输出有关的项放在方程的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂方式排列。,如：,二、系统微分方程的列写 1. 机械系统,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,遵循的定律：牛顿第二定律或达朗贝尔原理,直线运动,元素：质量m、弹簧k、粘性阻尼器c,质量元件：,阻尼元件：,c,，c粘性阻尼系数,弹性元件：,，k弹性系数,例2-1 列写下图所示机械系统的微分方程,解： 1)明确系统的输入与输出， 输入f(t) ， 输出x(t),2)进
6、行受力分析，列写微分方程，,利用 ，得,3)整理微分方程，得,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,例2-2 下图所示为一简化了的机械系统，求其输入x(t)与输出y(t)之间的微分方程。,解：在不同的元素之间，一定会有中间变量。,设中间变量x1，且假设xx1y。 取分离体阻尼活塞和缸体部分，并进行受力分析，,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,根据受力分析，列写微分方程组，,(1),(2),消去中间变量x1(t)，得，,将x1(t)代入(2)，整理得系统微分方程为，,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,(2)转动,元素：惯量J、扭转弹簧kJ、回转粘性阻尼器cJ
7、,惯量元件：,，J转动惯量,回转弹性元件：,，kJ回转弹性系数,回转阻尼元件：,，cJ回转粘性阻尼系数,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,例2-3 下图所示为一齿轮传动链，输入量为轴的输入转矩T，输出量为轴角位移1，试写出其微分方程。,解：为了便于列写微分方程，我们在系统上增加一些中间变量T1，T2，它们分别是轴的输出转矩与轴的输入转矩，即如下图所示，,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,根据达朗贝尔原理列写微分方程组为，,消去中间变量T1 、T2、2，得到系统的微分方程为根据达朗贝尔原理列写微分方程组为，,由此可知，减速器的速比越大，转动惯量、粘性阻尼系数等折算到电
8、动机轴上的等效值越小，因此在一般分析中常可忽略不计，但第一级齿轮的转动惯量和粘性阻尼系数影响较大，应该考虑。,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,2. 电网络系统,遵循的定律：克希荷夫电流定律、克希荷夫电压定律,元素：电阻R、电感L、电容C,电阻元件：,电感元件：,电容元件：,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,(1)克希荷夫电流定律 若电路有分支路，它就有节点，则会聚到某节点的所有电流之代数和应等于0（即所有流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和），,如右图所示，,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,例2-4 下图所示为一电网络系统，其输入为电压ui
9、，输出为电压uo，列写该系统微分方程。,解：根据克希荷夫电流定律，有,iL iRiC = 0,又,以上4个方程联立求解，并整理得，,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,(2)克希荷夫电压定律 网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和 。即,例2-5 下图所示为一电网络系统，其输入为电压ui，输出为电压uo，列写该系统微分方程。,解：根据克希荷夫电压定律，有,（1）,（2）,将（2）代入（1）式，整理得，,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)，输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。,解：根据克希
10、荷夫电压定律，得,消去中间变量i(t)，并整理得，,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,例2-7 下图所示为一个两级串连的RC电路组成的滤波网络，输入为电压ui，输出为电压uo。分析ui， uo与系统之间的动态关系，列写该系统微分方程。,解：设中间变量，令回路中流过R1的电流为i1；令回路中流过R2和C2的电流为i2。,根据克希荷夫电流定律，流过C1的电流为i1-i2，方向朝下。,对回路，根据克希荷夫电压定律，有,对回路，根据克希荷夫电压定律，有,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,另外，,消去中间变量i1、i2，整理得，,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程
11、,负载效应: 是指对于由两个物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使另一元件在相同输入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了负载，这一影响就称为负载效应。 上例中，两个RC电路串联，存在着负载效应。回路中的电流对回路有影响，即存在着内部信息的反馈作用，流经C1的电流为i1和i2的代数和。不能简单地将第一级RC电路的输出作为第二级RC电路的输入，否则就会得出错误的结果。,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,一般液压控制系统是一个复杂的具有分布参数的控制系统，分析研究它有一定的复杂性，在工程实际中通常用集中参数系统近似地描述它，即假定各参数仅为时间的变量而与空间位置无关，这样
12、就可用常微分方程来描述它，此外，液压系统中的元件有明显的非线性特性，在一定条件下需进行线性化处理，这样使分析问题大为简化。 一般液压系统要应用流体连续方程，即流体的质量守恒定律：qi = 0,3. 液压系统,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,例2-8 右下图是一液压缸，其输入为流量q，输出为液压缸活塞的位移x，试列写该系统微分方程。,解：根据分析，其微分方程为，,q=Av=A ， 整理后得， A =q,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,三、非线性微分方程的线性化,非线性方程线性化的条件 非线性函数是连续函数（即非线性不是本质非线性） 系统在预定工作点附近作小偏差运动
13、，即变量的变化范围很小。,非线性方程线性化的方法 确定预定工作点； 在工作点附近将非线性方程展开成泰勒级数形式； 忽略高于一阶项； 表示成增量方程的形式。,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,泰勒中值定理：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则当x在(a，b)内时，f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和,这里是x与x0之间的某个值。,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,例2-9 教材P:12-14图2-4液压伺服机构（课外自习内容）,讨论： 1）非线性项线性化后得到的微分方程是增量形式的微分方程；
14、 2）线性化的结果与系统的预定工作点有关； 3）非线性项线性化必须满足连续性和小偏差的条件。,第二章 系统的数学模型,2.2 系统的微分方程,2.3 拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换,第二章 系统的数学模型,2.3 拉氏变换与拉氏反变换,一、 拉氏变换的定义 若f(t)为实变数t的单值函数，且t0时，f(t)0；当t0时，f(t)在任一有限区间上是连续的或至少是分段连续的，则函数f(t)的拉氏变换记作Lf(t)或F(s)，并定义为 Lf(t)F(s) (2.3.1) 式中，L拉氏变换的符号； s复变数，sj（、均为实数）； F(s)是函数f(t)的拉氏变换，它是一个复变函数，通常称F(s)为f(t
15、)的象函数，而f(t)为F(s)的原函数；,表1 拉氏变换对照表,第二章 系统的数学模型,2.3 拉氏变换与拉氏反变换,二、拉氏变换的定理,线性定理,和的拉氏变换等于拉氏变换之和。,设Lf1(t)F1(s)，Lf2(t)F2(s)，则 Laf1(t)bf2(t),例 已知f(t)12cost，求F(s)。,2. 平移定理（复数域的位移定理） 若Lf(t)F(s)，对任一常数a（实数或复数），则有 L f(t)F(s + a),例：求L cost。,第二章 系统的数学模型,2.3 拉氏变换与拉氏反变换,3. 延时定理（实数域的位移定理） 若Lf(t)F(s)，且t0时，f(t)0，则 Lf(t-
16、T)e-Ts F(s) 其中，T为任一正实数，函数f(t-T)为原函数f(t)沿时间轴平移了时间T。,例 求f(t) 1(t-T)的拉氏变换,4. 微分定理 若Lf(t)F(s)，则有L s F(s) - f(0) 初始状态为0时，L F(s),第二章 系统的数学模型,2.3 拉氏变换与拉氏反变换,5. 积分定理 若Lf(t)F(s)，则有L F(s) L ,F(s),初始状态为0时，L F(s),6. 终值定理,f(t) =,sF(s),7. 初值定理,f(t) =,sF(s),第二章 系统的数学模型,2.3 拉氏变换与拉氏反变换,三、拉氏反变换,1. 定义,拉氏反变换是指由已知的象函数F(s)求解与之对应的原函数f(t)的过程。拉氏反变换的符号为 ， 可表示为 F(s)f(t),2. 拉氏反变换的数学方法,查表法,有理函数法,部分分式法：通过代数运算，先将一个复杂的象函数化
