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1、数值分析,应用问题举例,今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-九章算术,1、一个两千年前的例子,2、天体力学中的Kepler方程,x是行星运动的轨道，它是时间t 的 函数.,表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为 ，则得到下列非线性方程组,记为,其中，,4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4
2、.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温,5、用比较简单的函数代替复杂的函数,误差为最小，即距离为最小 （在不同的度量意义下）,6、人口预测,下面给出的是中国1900 年到2000年的人口数， 我们的目标是预测未来 的人口数（数据量较大时）,7、铝制波纹瓦的长度问题,建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.,假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.,这个问题就是要求由函数f(x)=sin x 给定的曲线
3、从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:,上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.,数值计算方法的意义、内容与方法,软件的核心就是算法。,20 世纪最伟大的科学技术发明-计算机,计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；,计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术 现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；,没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；,算法犹如乐谱， 软件犹如CD盘片， 而硬件如同CD唱机。,21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”,21世纪信息社会对科技人才的要求： -会用数学解决实际问题
4、-会用计算机进行科学计算,建立数学模型,选取计算方法,编写上机程序,计算得出结果,科学计算解题过程,一、计算数学的产生和早期发展,计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅 是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是 计算问题。,二、二十世纪计算数学的发展,数值代数,最优化计算,数值逼近,计算几何,概率统计计算,蒙特卡罗方法,微分方程的数值解法,微分方程的反演问题,数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解；,数值逼近：插值与函数逼近、数值微分 和积分、 最小二乘法；,微分方程数值解：常微分方程数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法 有限体
5、积法,三、数值计算的主要内容,教材 数值分析(21世纪数学系列教材) 李庆扬等（华中科技大学出版社）,参考书目 数值计算方法 徐涛 编著 （吉林科学技术出版社） 应用数值方法 使用MATLAB和C语言 Robert J.Schilling ,否则,S1 输入,S4 输出计算的结果,二、算法优劣的判别, 计算量的大小, 存贮量, 逻辑结构,例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值， 总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。,n=20 需要运算多少次？,n=100?,一、误差的来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差,例:质量为m的
6、物体，在重力作用下,自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是：,其中 g 为重力加速度。,3 误 差,通过测量得到模型中参数的值 观测误差,求近似解 方法误差 (截断误差）,例如，当函数,用Taylor多项式,近似代替时，数值方法的截断误差是,机器字长有限 舍入误差,用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位, = 3.1415926,小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来,代替位数较多的有限小数，如：,四舍五入后,在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！,二、 误差的概念,1、绝对误差与绝对误差限,例 :若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约
7、为1.45米，求1.45米的绝对误差。,1.45米的 绝对误差=？,不知道！,是近似值 的绝对误差,简称为误差。,定义：设 是准确值，为 的一个近似值，称,但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数 ，,即 则称 为绝对误差限，有了绝对误差限,就可以知道 的范围为,即 落在 内。,在应用上，常常采用下列写法来刻划 的精度。,2、相对误差与相对误差限,定义：设 是准确值， 是近似值，是近似值的误差，,通常取,为近似值 的相对误差，记作 ，,称,一般情况下是不知道 的，怎么办？,事实上，当 较小时,是 的二次方项级,故可忽略不计.,相应地，若正数,满足,则称 为 的相对误差限。,3 、有效数字,定义：如果,则说 近似表示 准确到小数后第 位，并从这,由上述定义,第 位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都,称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。,定义 :,也即，若,其中， 是1到9中的一个数字； 是 0到9中一个数字； 为整数，且,就说 有 位有效数字。,取 作 的近似值， 就有三位有效数字；,取 作 的近似值， 就有五位有效数字。,例如：,注： 若一近似数是由原真值经四舍五入得到， 则必为有效数.,
