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1、9-9 二次曲面,一、椭球面 二、单叶双曲面 三、双叶双曲面 四、二次锥面 五、椭圆抛物面 六、双曲抛物面 七、二次曲面,三元二次方程F(x,y,z)=0所表示的曲面称之为二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法和类比的方法讨论这9种二次曲面的标准方程,适当选取直角坐标系，可得到二次曲面的标准方程，除退化的之外，共有9种标准方程。,一、椭球面,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为,球面,方程可写为,截痕法,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面与平面
2、的交线为椭圆,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,二、单叶双曲面,单叶双曲面,单叶旋转双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,截痕为一对相交于点 的直线.,截痕为一对相交于点 的直线.,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得双曲线.,单叶双曲面图形,平面
3、的截痕是两对相交直线.,双叶双曲面,三、双叶双曲面,双叶双曲面,四、二次锥面,类比法：,截痕法：,五、椭圆抛物面,当a=b时,旋转抛物面,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 无截痕.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得抛物线.,椭圆抛物面的图形如下：,六、双曲抛物面,双曲抛物面也称鞍面,七、二次曲面,想一想，下面给出的二次方程表示的几何图形是什么？,或,退化的二次曲面,适当选取直角坐标系，可得到二次曲面的标准方程，除退化的之外，共有9种标准方程。,除以前讲过的椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、二次锥面、椭圆抛物面、双曲抛物面外其余三种二次曲面就是我们所熟悉的三种二次柱面：,练 习 题,练习：P.50:79(2)(3),80(2),81(1)(3),作业：P.50:79(1)(4),80(1)(3),81(2)(4),
