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1、函数与导数解答策略 命题趋势 函数与导数是高考数学的重点内容之一, 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程, 在近几年 的高考中 , 函数类试题在试题中所占分值一般为22-35分. 一般为 2个选择题或 2个填空题 ,1 个解答题 , 而且常考常新。 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数 的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。 在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在: 1. 通过选择题和填空题, 全 面考查函数的基本概念, 性质和图象。2. 在解答题的考查中, 与函数有关的试题常常是以综合题的
2、形式出 现。 3. 从数学具有高度抽象性的特点出发, 没有忽视对抽象函数的考查。4. 一些省市对函数应用题的考查 是与导数的应用结合起来考查的。5. 涌现了一些函数新题型。6. 函数与方程的思想的作用不仅涉及与函 数有关的试题, 而且对于数列 , 不等式 , 解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7. 多项式求导 ( 结合不 等式求参数取值范围), 和求斜率 ( 切线方程结合函数求最值) 问题。 8. 求极值 , 函数单调性 , 应用题 , 与三角 函数或向量结合，预计20XX年基本上还是这个考查趋势，具体为：(1) 以选择题或者填空题的形式考查集 合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定
3、义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新 定义试题 (2) 以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个 量词的命题的否定 (3) 以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值 域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、 对数函数、 幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断， 简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用(4) 以解答题的方式考查导数在 函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调 性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数
4、解模 备考建议 基本初等函数和函数的应用：在掌握好基本知识的前提下重点解决函数性质在解决问题中的综合应 用、函数性质在判断函数零点中的应用，指数函数、 对数函数的图象和性质的应用，数形结合思想的应用 导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函 数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特 别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题 后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压 轴题的一个重要考查点 解答
5、策略 1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则. 对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中 的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响. 2运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短. 3对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑. 如对二次项含参数的 二次函数问题，应分a0 和a0 两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a1 和 0 a 1 分两种情况讨论. 4解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用. 5在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若( )f x在（a，b） 内有极值，那么( )f x在（a，b）
6、绝不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系；一般的情 况，当函数( )f x在a，b上连续且有有限个极值点时，函数( )f x在a，b内的极大值点和极小值点 是交替出现的；导数为0 的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）. 而充 分条件是导数值在极值点两侧异号. 6求函数的最值可分为以下几步：求出可疑点，即 / ( )fx0 的解x0；用极值的方法确定极值； 将（a，b）内的极值与( )f a，( )f b比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当( )f x在（a，b） 内只有一个可疑点时，若在这一点处( )f x有极大（小）值，则可以确定( )f x在该点处
7、了取到最大（小） 值. 7利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面： ( )fx0 是( )f x递增的充分条件而非 必要条件（ ( ) fx 0 亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据 ( ) fx0（或 ( )fx 0）解出在定义域内相应的x的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求 导的方法来证明. 8函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1) 综合运用所学的数学思想 方法来分析解决问题；(2) 及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3) 不等式证明的方法多，应注意 恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4) 要
8、利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题. 典型例题 考点一 . 函数的解析式、定义域、值域求法 例函数 2 ln(1) 34 x y xx 的定义域为 A( 4,1)B( 4,1)C( 1,1)D( 1,1 解：由 2 101 11 41340 xx x xxx . 故选 C 【名师点睛】 ：函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一. 这里主要帮助考生灵活掌握求定 义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例用 mina,b,c表示 a,b,c三个数中的最小值，设( )f x=min2x, x+2,10-x (x 0),则( )fx的最 大值为 （A） 4 （B）5
9、 （ C）6 （D）7 【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示， 很容易的得到函数的最大值是当 4x 时， fx 的最大值为6 【名师点睛】 ：解决本题的最好方法是数形结合， 本题考查学生对函数知识的灵活运用和对新定义问题的快速处理 考点二 .函数的零点 例函数 2 x +2x-3,x0 x)= -2+ln x,x0 f （ 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解:当0 x时，令 2 230 xx解得3x； 当0 x时，令2ln0 x解得100 x，所以已知函数有两个零点，选C。 【名师点睛】 ：求函数)(xfy的零点：（代数法）求方程0)(xf的实数根；（几何法
10、）对于不能 用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 例设 a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(xaxx的实根的个数。 解：原方程等价于 xaxx xa x x )3)(1( 0 03 01 即 31 35 2 x xxa 构造函数)31 (35 2 xxxy和 ay，作出它们的图像，易知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：当31a或 4 13 a时， 原方程有一解；当 4 13 3a时，原方程有两解；当1a或 4 13 a时，原方程无解。 【名师点睛】 ： ：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。
11、不仅要通 过图象直观估计，而且还要计算 0 x的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。 例已知 a 是实数，函数 2 ( )223f xaxxa，如果函数( )yf x 在区间 -1 ，1上有零点，求实数a 的取 值范围。 解：当 a=0 时，函数为( )f x =2x -3 ，其零点x= 2 3 不在区间 -1 ，1 上。当 a0 时，函数( )f x 在区间 -1 ， 1 分为两种情况：函数在区间 1，1 上只有一个零点，此时 48 ( 3)0 ( 1) (1)(5)(1)0 aa ffaa 或 1 2 1 1 0)3(84 a aa 解得 1a5 或 a= 2 73 函数在区间 1，1
12、 上有两个零点，此时 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 或 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 解得 a5 或 a0恒成立 0 0a ；f(x)0) 在区间8, 8上有四个不同的根 1234 ,x xxx, 则 1234 _.xxxx 解：因为定义在R上的奇函数， 满足(4)( )f xf x, 所以(4)()f xfx, 所以 , 由)(xf为奇函数 , 所以函数图象关于直线2x对称且(0)0f, 由(4)( )f xf x知(8)( )f xf x, 所以函数是以8 为周期的周期函数, 又 因 为)(xf在 区 间 0,2上
13、 是 增 函 数 , 所 以 )(xf 在区间 -2,0上也是增函数 . 如图所示 , 那么方程)(xf=m(m0)在区间8 ,8 上有四个不同的根 1234 ,x xxx, 不妨设 1234 xxxx由对称性知 12 12xx 34 4xx所以 1234 1248xxxx答案 :-8 【名师点睛】 ：本题综合考查了函数的奇偶性, 单调性 , 对称性 , 周期性 , 以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题 例已知函数 2 2 4,0 () 4,0 xx x fx xxx 若 2 (2)( ),faf a则实数a的取值范围是 A (,1)(2,) B ( 1,
14、2) C ( 2,1) D (, 2)(1,) 解：由已知，函数在整个定义遇上单调递增的故)()2( 2 afaf，等价于02 2 aa， 解得 12a 答案 C 【名师点睛】 ：在处理函数单调性时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，显得更加简单、方便 例已知以 4T 为周期的函数 2 1,( 1,1 ( ) 12 ,(1,3 mxx f x xx ，其中 0m 。若方程3 ( )f xx 恰有 5 个实数解，则m的取值范围为（） A 15 8 (,) 33 B 15 (,7) 3 C 4 8 (,) 3 3 D 4 (,7) 3 解： 2 1,1,1ymxx的图象为椭圆上半部分，12 ,1
15、,3yxx的图象为两条线段 根据( )f x的周期 T=4可知其图象， 由方程3 ( )f xx恰有 5 个实数解， 则 2 31 (4)mxx有两解即 2222 (91)721350mxm xm有两解，所以 2222 ( 72)4(91) 1350mmm解得 15 3 m； 2 31(8)mxx无解即 2222 (91)1446390mxm xm无解，所以 2222 ( 144)4 (91) 6390mmm解得7m。故 15 7 3 m 【名师点睛】 ：函数的图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数 时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作 用，但要
16、注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容 易出错 . 考点四 . 函数的图象 例单位圆中弧AB长为x，( )f x表示弧AB与弦AB所围成弓形面积的2 倍。 则函数( )f x的图像是（） 解：法一：定量分析。可列出( )sinf xxx，知0 x时，( )f xx，( )f x图像在yx下方； C 2x时，( )f xx，( )f x图像在yx上方。选D 法二：定性分析。当x从0增至2时，( )f x变化经历了从慢到快，从快到慢的过程，选D 法三：观察( )f x满足：()()2 ( )ftftf，故( )f x图像以 , 为对称中心。选D 【名师点睛】 ：函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利 用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用. 因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法， 掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. 此类题目还很好的考查了数形结合的 解题思想 . 考点五 . 函数
