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1、学习好资料欢迎下载 1 1、（ 2010 北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y= 4 1m x 2 4 5m x m 2 3m 2 与 x 轴的交点分别为原点O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上。 （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向点运动，过P 点作 x 轴的垂线，与直线OB 交于 点 E。延长 PE 到点 D，使得 ED=PE，以 PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当 P 点运动时， C 点、 D 点也随之运动） 当等腰直角三角形PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长； 若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运
2、动， 速度为每秒1 个单位，同时线段OA 上另一点 Q 从 A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2 个单位 (当 Q 点到达 O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线AB 交于点 F。延长 QF 到点 M，使得 FM=QF，以 QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当 Q 点运动时， M 点， N 点也随之运动)。若 P 点运动到t 秒时， 两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在 同一条直线上，求此刻t 的值。 解：（ 1）拋物线 y= 4 1m x 2 4 5m x m 2 3m 2经过原点， m 2 3m 2=0，解得 m1=1，
3、 m2=2，由题意知m 1，m=2， 拋物线的解析式为y= 4 1 x 2 2 5 x， 点 B(2，n)在拋物线y= 4 1 x 2 2 5 x 上， n=4，B 点的坐标为 (2，4)。 （2）设直线 OB 的解析式为y=k1x，求得直线OB 的解析式为y=2x， A点是拋物线 与 x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为 (10，0)，设 P 点的坐标为 (a，0)，则 E 点的坐标 为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图 1。可求得点C 的坐标为 （3a，2a）， 由 C 点在拋物线上， 得 2a= 4 1 (3a) 2 2 5 3a， 即 4 9 a 2 2 11 a=0
4、， 解得 a1= 9 22 ，a2=0 （舍去） ， OP= 9 22 。 依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线 AB 的解析式为y=k2x b，由点 A(10，0)， x y O 1 1 O A B C D E P y x 图 1 学习好资料欢迎下载 2 点 B(2，4)，求得直线AB 的解析式为y= 2 1 x 5，当 P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三 角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD 与 NQ 在同一条直线上。 如图 2 所示。可证 DPQ 为等腰直角三角形。此时 OP、DP、AQ 的长可依次表示为t、 4t、2t 个单位。 PQ=DP=4t
5、，t 4t 2t=10，t= 7 10 。 第二种情况：PC 与 MN 在同一条直线上。 如图 3 所示。可证 PQM 为等腰直角三角形。此时OP、AQ 的长可依次表示为t、2t 个单位。 OQ=10 2t， F 点在直线AB 上， FQ=t，MQ=2t，PQ=MQ=CQ=2t， t 2t 2t=10，t=2。 第三种情况：点P、 Q 重合时， PD、QM 在同一条直线上， 如图 4 所示。此时OP、 AQ 的长可依次表示为t、2t 个单位。 t 2t=10， t= 3 10 。综上，符合题意的t 值分别为 7 10 ，2， 3 10 。 2、（ 2010 北京）问题：已知ABC 中，BAC=
6、2ACB，点 D 是ABC 内的一点， 且 AD=CD，BD=BA。探究DBC 与ABC 度数的比值。 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当BAC=90 时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB 与 AC 的数量关系 为； 当推出DAC=15 时，可进一步推出DBC 的度数为；可得到DBC 与 ABC 度数的比值为； (2) 当BAC 90 时，请你画出图形， 研究DBC 与ABC 度数的比值是否与(1)中的结 论相同，写出你的猜想并加以证明。 E x O A B C y P M Q N F D 图 2 x y O A M (C) B
7、 (E) D P Q F N 图 3 图 4 y x B O Q(P) N C D M E F A C B 学习好资料欢迎下载 3 解： (1) 相等； 15 ；1：3。 (2) 猜想：DBC 与ABC 度数的比值与(1)中结论相同。 证明：如图2，作KCA=BAC，过 B 点作 BK/AC 交 CK 于点 K， 连结 DK 。BAC 90 ，四边形ABKC 是等腰梯形， CK=AB， DC=DA，DCA=DAC，KCA=BAC， KCD =3， KCDBAD，2=4，KD =BD， KD =BD=BA=KC。 BK/AC，ACB=6， KCA=2ACB，5=ACB，5=6， KC=KB， K
8、D =BD=KB，KBD=60 ，ACB=6=601， BAC=2ACB=12021， 1 (601) (12021)2=180 ，2=21， DBC 与ABC 度数的比值为1：3。 3、（ 2010 郴州）如图（1），抛物线4 2 yxx与 y 轴交于点A，E（0，b）为 y 轴上一动点，过点E 的直线yxb与抛物线交于点B、C. （1）求点 A 的坐标； （2)当 b=0 时（如图（ 2），ABE与ACE的面积大小关系如何？当4b时，上述 关系还成立吗，为什么？ （3）是否存在这样的b，使得BOC是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若 不存在，说明理由. 解：（ 1）将 x=0
9、，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为（ 0， 4） （2）当 b 0 时，直线为yx，由 2 4 yx yxx 解得 1 1 2 2 x y ， 2 2 2 2 x y B A C D K 1 2 3 4 5 6 图 2 y x C B A O E y x C B A O E 第 26 题 图（ 1）图（ 2） 学习好资料欢迎下载 4 所以 B、C 的坐标分别为（2， 2），（ 2，2） 1 424 2 ABE S， 1 424 2 ACE S 所以 ABEACE SS（利用同底等高说明面积相等亦可） 当4b时，仍有 ABEACE SS成立 . 理由如下 由 2 4 yxb yxx ，解得 1
10、 1 4 4 xb ybb ， 2 2 4 4 xb ybb 所以 B、C 的坐标分别为（4b，4b+b），（4b，4b+b）， 作BFy轴，CGy轴，垂足分别为F、G，则4BFCGb， 而 ABE和ACE是同底的两个三角形， 所以 ABEACE SS. （3）存在这样的b. 因为90BFCG,BEFCEG,BFECGE 所以 BEFCEGVV ，所以 BECE，即 E为 BC 的中点 所以当 OE=CE 时，OBC为直角三角形，因为44GEbbbbGC 所以24CEb，而OEb 所以24bb，解得 12 4,2bb， 所以当 b4 或 2 时， OBC 为直角三角形. 4、（ 2010 滨州
11、）如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（ 0，3），以点C 为顶点的抛物线cbxaxy 2 恰好经过x轴上 A、B 两点 （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式， 并指出平移了多少个单位? G F y B C Q O R 学习好资料欢迎下载 5 解： 解：由抛物线的对称性可知AM=BM 在 RtAOD 和 RtBMC 中， OD=MC ， AD=BC ， AOD BMC OA=MB=MA 设菱形的边长为2m，在 Rt AOD 中， 222 )2()3(mm，解得 m
12、=1 DC=2 ，OA=1 ，OB=3 A、B、C 三点的坐标分别为（1，0）、（ 3，0）、（ 2，3） 设抛物线的解析式为y=a（x2） 2 +3 代入 A 点坐标可得a=3 抛物线的解析式为y=3（x2） 2+ 3 设抛物线的解析式为y=3（x一 2） 2+k，代入 D（0， 3）可得 k=53 所以平移后的抛物线的解析式为y=3（x一 2）2+5 3，平移了 53一3=43 个单位 5、（2010 长沙）已知：二次函数 2 2yaxbx的图象经过点（1，0），一次函数 图象经过原点和点（1， b），其中0ab且a、b为实数 （ 1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （ 2）试
13、说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （ 3）设（ 2）中的两个交点的横坐标分别为x1、 x2，求 | x1x2 |的范围 解：（ 1）一次函数过原点设一次函数的解析式为y=kx 一次函数过（1， b）y=bx （2） y=ax2+bx2 过（ 1，0）即 a+b=2 学习好资料欢迎下载 6 由 2 (2)2 ybx yb xbx 得 2 2(2)20axa x 22 4(2)84(1)120aaa 方程有两个不相等的实数根方程组有两组不同的解 两函数有两个不同的交点 （3）两交点的横坐标x1、x2分别是方程的解 12 2(2)24aa xx aa 12 2 x x a 2 121212 (
14、)4xxxxx x 2 2 2 48164 (1)3 aa aa 或由求根公式得出。ab0，a+b=2 2a1 令函数 24 (1)3y a 在 1a2 时 y 随 a 增大而减小 2 4 4(1)312 a 2 4 2(1)32 3 a 12 22 3xx 6、（ 2010 长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和 y 轴 上，8 2OAcm， OC= 8cm，现有两动点P、Q 分别从 O、C 同时出发， P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒2cm 的速度匀速运动， Q 在线段 CO 上沿 CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动设运动时间为t 秒 （ 1）用
15、t 的式子表示 OPQ 的面积 S； （ 2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值； （ 3）当 OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时，抛物线 2 1 4 yxbxc经过 B、P 两点，过 线段 BP 上一动点M 作y轴的平行线交抛物线于N，当线段 MN 的长取最大值时，求 直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比 B A P x C Q O y 第 26 题图 学习好资料欢迎下载 7 解：（ 1） CQt， OP=2t，CO=8 OQ=8t SOPQ 2 12 (8)242 22 tttt（0t8） （2） S四边形OPBQS矩形ABCD SPABSCBQ 1
16、1 88 28 28(822 ) 22 tt322 四边形OPBQ 的面积为一个定值，且等于322 （3）当 OPQ 与 PAB 和 QPB 相似时 ,QPB 必须是一个直角三角形，依题 意只能是 QPB90 又 BQ 与 AO 不平行 QPO 不可能等于PQB， APB 不可能等于PBQ 根据相似三角形的对应关系只能是OPQ PBQ ABP ， 82 8 8 22 tt t 解得： t 4 经检验： t4 是方程的解且符合题意（从边长关系和速度） 此时 P（4 2，0） B（8 2，8）且抛物线 2 1 4 yxbxc经过 B、P 两点， 抛物线是 2 1 2 28 4 yxx，直线 BP 是：28yx 设 M（ m, 28m）、 N(m， 21 228 4 mm) M 在 BP 上运动428 2m 2 1 1 2 28 4 yxx与 2
