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1、 . . . 毕 业 设 计（论 文）题 目： 中值定理及其应用 毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的
2、印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部容。作者签名： 日 期： 学位论文原创性声明本人重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位
3、论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日注 意 事 项1.设计（论文）的容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计
4、（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报
5、告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目录摘要11、 引言22、微分中值定理及其应用22.1 罗尔中值定理22.2 拉格朗日中值定理32.3 柯西中值定理42.4 泰勒定理62.5 微分中值定理的应用93、积分中值定理及其应用153.1 积分第一中值定理153.2 积分第二中值定理173.3 二重积分中值定理203.4多重积分中值定理203.5积分中值定理的应用21感词26参考文献26Abstract27文献翻译28 . . . . 中值定理及其应用xxx 数学与应用数学专业 摘要本论文讲述的主要容是中值定理及其应用, 主要包括：微分中值定理、积分中值定理以及它们的应用. 微分中值定
6、理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理以及泰勒定理; 积分中值定理包括积分第一中值定理、积分第二中值定理以及在二重、多重积分上的推广. 关于中值定理的应用, 我们选择的都是较为典型的题目. 微分中值定理主要的应用有：不等式与等式证明、计算不定式极限、关于方程根的讨论（存在性与根的个数）、函数单调性和极值、函数的最值和近似计算. 而积分中值定理的应用有：求定积分的极限、比较积分的大小、对阿贝尔判别法和狄利克雷判别法两个定理的证明、证明函数的单调性、确定积分符号以及估计积分值. 关键词：中值定理; 微分; 积分; 应用1、 引言微积分的创立, 极推动了数学的发展. 其中, 中值定理作为微积分中的一
7、个重要性质, 在数学分析的学习过程占有很重要的地位. 中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地, 在以后的学习中还会有其他的应用. 通常情况下, 中值定理分为微分中值定理和积分中值定理. 而微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理以及泰勒定理; 积分中值定理包含积分第一中值定理、积分第二中值定理. 本课题的研究过程为：讨论和分析中值定理, 然后将其加以推广, 讨论各个中值定理中的证明过程和相互关系, 论述了中值定理在各方面的应用问题. 课题研究的主要目标是：研究和分析中值定理, 总结其在各方面的应用. 微分中值定理的应用主要包括：不等式与等式证明、计算不定式极限、关于方程根的讨
8、论（存在性与根的个数）、函数单调性和极值、函数的最值和近似计算. 积分中值定理的应用包括：求定积分的极限、比较积分的大小、对阿贝尔判别法和狄利克雷判别法证明、证明函数的单调性、确定积分符号以及估计积分值. 2、微分中值定理及其应用2.1 罗尔中值定理引理1（费马定理）：若函数在其极值点处可导, 则必有. 证明：设是极大值, 依据极值定义, 存在, 使得凡是时有. 因此, 当时, 有 , 而当时, 又有不等式 成立. 分别令与, 就得到. 很显然, 有成立, 命题得证. 定理1（罗尔中值定理）：若函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续; （2）在开区间可导; （3）;则在至少存在一点, 使得.
9、 证明：因为在上连续, 所以有最大值和最小值. 若, 则为的常值函数, 这时, 结论成立; 若, 由于, 则与中至少有一个是在某一点处取到的, 这时必为的一个极值点. 由费马定理得, . 综上, 命题得证. 2.2 拉格朗日中值定理定理2（拉格朗日中值定理）：若函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续; （2）在开区间可导; 则在开区间至少存在一点, 使得 . 证明：先作辅助函数. 我们有, 而且在上满足罗尔中值定理的另外两个条件. 所以存在, 使得, 即. 注意：当时, . 这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况. 2.3 柯西中值定理定理3（柯西中值定理）：设函数和满足： （1
10、）在闭区间上都连续; （2）在开区间都可导; （3）和不同时为零; （4）; 则存在, 使得 . 证明：先作辅助函数, 显然在上满足罗尔中值定理的条件, 所以存在, 使得. 由于（否则也为零）, 所以 . 故命题得证. 定理4（洛必达法则）：（1）若函数和满足： (); ()在点的某空心邻域两者都可导, 且; （）（可为实数, 也可以是或）; 则. 证明：我们先补充定义, 这样可以使和在点处连续. 对, 在闭区间上应用柯西中值定理, 存在, 使得也就是当的时候, 我们也有, 所以. 故命题得证. ：若函数和满足： (1); (2)在点的某右邻域两者都可导, 且; （3）（为实数, 也可以是或）
11、则. 证明：我们先证明有限的情形, 无限的情形是可以类似证明的. 由已知条件, , , 使得当时, 有. 根据条件（2）, 和在上满足柯西中值定理条件, 则一定存在, 使得, 所以. 另外, , 显然有界; 而对于固定的, 由条件（1）, 当时是无穷小量. 所以, 使得当时有. 综上, 对于, 有 . 也就是说. 故命题得证. 备注：柯西中值定理是建立洛必达法则的理论依据. 2.4 泰勒定理引理2（泰勒公式）：若函数在点处阶可导, 则有 证明：设, , 我们有则可知并且 . 由于存在, 则在点的某一个邻域存在阶导函数. 所以, 当, 且时, 连续使用洛必达法则次, 就可以得到 故命题得证. 备
12、注：被称为泰勒公式的余项, 形如的余项称为佩亚诺型余项. 定理5（泰勒定理）：若函数在上存在直到阶导数, 在存在阶导函数, 则对任意给定的, 至少存在, 使得 证明：作辅助函数. 对求导, 得到 . 此时, 我们有. 取, 再由柯西中值定理知, 存在, 使得即备注：余项, 称为拉格朗日型余项. 注意：当时, 就得到拉格朗日中值公式. 而当时, 得到的泰勒公式, 这也被称为迈克劳林公式. 2.5 微分中值定理的应用微分中值定理的应用围十分广泛, 既可应用于含有中值的等式证明, 也可应用于恒等式以及不等式的证明. 由于各个中值定理的条件和结论不同, 而它们之间又存在着相互联系, 因此需要我们针对所
13、要证明的等式、不等式, 分析其结构特征, 结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数, 然后套用相应的微分中值定理进行证明, 最终得到我们所需的结果. 下面来看一些例子. 2.5.1证明等式和不等式例1：设函数在区间上连续, 在中可导, 且. 证明, 存在, 使得. 证明：令, 于是有在上连续, 在中可导, 而且. 则有罗尔中值定理知, 存在, 使得. 因为, 而, 所以. 例2：证明. 证明：由于, , 根据拉格朗日中值定理得到. 命题得证. 例3：证明下面的不等式：; . 证明：（1） 令, 显然. 当时, 由柯西中值定理, 存在, 使得, 有. 当时, ; 当时, . 总之, 时, . 综上, . （2） 与（1）证明类似, 先令. 由柯西中值定理, , , 而, 所以由得. 显然, 时, 就有. 例4：设, 求证：成立. 证明：这一题是对前面例3的推广, 我们可以运用数学归纳法来证明. 当时, 令. 显然, 根据例3, 当时, 有
