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1、对高中数学概念教学生成过程的一点思考一、忽视基本数学概念的生成过程，是当前数学概念教学中的突出问题 高中数学概念教学有些现象很令人担忧：教师重解题技巧，轻概念生成，追求概念教学最小化和习题讲解最大化；学生认为概念学习单调乏味而不重视它，对基本概念死记硬背、不求甚解，只是机械记忆。直接后果表现为学生在没有真正理解概念的情况下匆忙去解题，使得他们只会模仿教师解决某些典型例题的题型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情况、新的题目就束手无策，进而导致教师和学生为了提高成绩，陷入无休止的题海之中造成以上现象的主要原因，在于学生仅仅知道数学概念本身，并未理解概念的形成过程，对概念引出的必要性、概念的本质及
2、其功能没有深刻的认识 普通高中数学课程标准指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步理解由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质” 【1】因此，要使学生真正领会和把握数学概念，教师就必修在概念生成的环节不惜时，不惜力二、概念生成的过程，就是数学精神的陶冶过程 概念生成的核心，就是要让学生在探索、辨析、感悟和运用中提升自己的数学思维，完善自己的知识体系，构建自己的数学思想，以达到使学生获得必备的数学素养与最佳发展的目的结合学生的
3、认知特点和本人的教学实践，可以分五个步骤来完成：1、寻找概念的根，理解概念的魂 概念教学不能“就事论事” ，只注重这个“点” ，这样只会“见木不见林” ，应该找到知识体系大树中，概念的根深藏于什么位置，围绕根来开展教学，这是概念生成的基础做教学设计前，先问自己几个问题：（1）概念的来源理清了吗？（2）概念的内涵与外延是什么？（3）与之相关概念的相互关系是什么？（4）概念有什么文化作用？例如，向量概念，高中阶段数学和物理所使用的传统定义是：向量是一种既有大小又有方向的量物理中的向量概念又叫矢量，例如速度、加速度、力等就是这样的量，它是有自己的准确含义的；数学中的向量概念，它舍弃了物理中的实际意义
4、，抽象为数学中的概念，强调的是向量的几何意义，这是可以推广到高维空间或更为抽象的空间中去的到了大学阶段，相关的定义发生了变化：理论力学中发现，有大小和方向的量不一定是向量，例如有限转动；泛函分析中实数集合按照加法和乘法构成了向量空间，没有大小方向的实数成了向量，所以对于向量又有了代数定义掌握了概念的根，就可以准确把握向量在不同教学阶段的不同含义和不同的教学要求：先从实际模型抽象出概念，然后用数学方法研究性质，最后运用模型解决问题，这样就体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，从容形成对数学的完整认识2精心设计问题，动态展示过程数学概念一般来源于实际问题的
5、解决或数学自身发展的需要，在其以定理、法则、公式这些冷冰冰的形式化知识展现的背后，隐藏着原始的、生动活波的教学思维，这就是概念形成的目标，华罗庚教授说得好：“学习数学最好到数学家的纸篓里去找材料，不要只看课本上的结论” 例如，数学归纳法的概念引入非常难以处理：学生需要掌握的是操作性强、实用性更强的形式化表达，但其过于浓厚的演绎推理形式让很多学生无法接受，我的做法是这样的：问题 1 盒子里装了 8 个球，如何证明里面球都是红色的？问题 2 小明的妈妈有三个孩子，老大叫大毛，老二叫二毛，请问老三叫什么？问题 3 一位学者用他那洞若观火的眼睛观察到，树上的乌鸦都是黑的，然后他就到了一个伟大的推理，天
6、下乌鸦一般黑，他的结论正确吗？师：以上我们实际上都运用了不完全归纳法，请同学们思考一下，什么地方运用到了不完全归纳的方法呢？生：在证明等差，等比数列的通项公式时师：我给大家讲一个小故事，法国大数学家费，他还有一个很著名的命题：FN=+1 是质数，他验证了 N=1，2，3，4，都是正确的，所以他人为这个命题是正确的，由于他在当时的地位，没有人反对他可是，若干年后，另一位天才数学家欧拉敢于挑战权威，他证明当 N=5 时，这个命题是错误的，错误就在开始阶段发生了这就是不完全归纳法的缺陷，没有经过了严格的证明我们就不能说这样得出的结论是正确的问题 4 盒子里有无数个球，如何证明里面都是红色的呢？生：这
7、个问题复杂，不可能把球都拿出来吧！师：不完全归纳法看来是处理不了这样的问题了，那我们就需要新的工具来处理这样的问题，这就是今天的主题：完全归纳法，也叫数学归纳法同学们知道多米诺骨牌成功的条件是什么？生：第一张牌必须被推倒，并且必须保证前一张牌倒则后一张牌也倒下！师：归纳的非常好，那我们可否用这个思路证明等差数列的通项公式呢？师：这位同学回答的非常好，我们结合这个为难题看数学归纳法的主要步骤，请看屏幕本堂课采用在概念的形成中掌握概念的策略，以数学概念原理的发生发展过程为引入线索，问题引导学习，循序渐进地安排学生的观察（实践性探索） ，思维（理性思考）和迁移（知识应用）活动，引导学生动手做，动眼看
8、，动口说，动脑思，用心想，全身心的投入概念学习3剖析概念内涵，拓展概念外延形成概念时，通过对一类对象的研究，分析这类对象的共同的本质属性，再把具有本质属性的对象全部加起来研究，剖析概念的内涵与外延，这就是概念的理解概率概念学生在初中学习过，并且通过一些具体实验，初步建立了频率与概率相关的知识体系学习了概念后，我提出几个问题让学生辨析：（1）只要试验次数足够大，频率 m/n 就可以作为概率的估计值，到底多少是足够？对于破坏性实验，比如导弹发射，是否也要很多次呢？（2）频率的稳定值就是概率，对于投掷硬币实验，如果我们不知道概率为 0.5，如果选用 0.4996 作为概率是否正确？（3）频率是不断变
9、动的，而概率却是确定的值，这是否与我们所认识的确定性数学的经验相悖？ 概率的频率定义，反映了在大量重复试验的条件下，随机事件发生的频率的稳定值就是概率的性质其中频率的随机性表现为随着时间和人物改变而变化，频率的规律性表现为频率稳定于某个常数，上面三个问题的回答就是对这一内容内涵的的深刻理解函数的周期性和最小正周期是学生难以理解的概念，在学生了解其概念后，为了帮助学僧准确把握函数的函数周期性和最小正周期的外延，可以设计以下问题链，让学生讨论： 通过上述问题的研究，可以帮助学生弄清以下问题：（1）周期函数定义域的结构特征；（2）最小正周期的存在状况；（3）周期函数函数值的分布规律；（4）周期函数的
10、图像特征在此基础上，学生才能真正弄清周期函数、最小正周期的概念，学生的认识结构也从“了解”上升到“理清并掌握”的层面 【2】4合理情景设计，构造生动模型理解了概念的内涵与外延后，抽象化和形式化的例子要尽可能回避，多筛选与生活的联系密切的例题，通过问题的解答过程凸显概念本质，生动活波的数学思维活动应该为学生所认识和体验，这就是概念生成的成熟 充要条件概念教学中，学生在具体判断时往往出错，我的做法是：（1）集合中的文氏图法（图 1） ；（2）举例“中国人”与“浙江人”的关系；（3）物理学中的“并联电路”和“串联电路” （图2） ； 熟悉的情景，鲜活的生活素材，激发了学生的兴趣和积极思考，润物细无声
11、的融入教学中学生在运用概念时不但“知其然”也“知其所以然” ，体验到成功的喜悦，并进一步转化为学习的动力，投入到提炼概念并不断完善概念的过程中 古典概型的教学中，基本事件的认定是难点我选取的例子是“三门问题” “三门问题”是美国一个经典的电视游戏节目，内容如下：现有三扇门，其中一扇后面有一辆汽车，另外两扇门后各有一只羊，参赛者选中车门就得车，选中羊门就得羊，首先参赛者选一扇门，然后主持人故意打开剩下两门中的一扇羊门（主持人知道这在何处） ，接着主持人给参赛者选择机会，是坚持原门还是换另一扇门？这是一个有意义又不太复杂的题目，我从两个角度作出解答：第一，基本事件就两个，即变与不变，如果你不改变选
12、择，那么你需要一开始选中车门才会赢，胜出概率就是 1/3，如果你改变选择，那你一开始选中无车的门才会赢，所以胜出概率就是 2/3；第二，课堂上演示“三门问题”游戏软件，通过计算机随机模拟的方法，验证此结论这个问题的思维过程，为学生打开了一道门户，把学生引入了一个神奇的概率领域学生感受到抽象的数学被形象化、生活化了，这不仅降低了数学的抽象度，降低了数学教学的起点和坡度，有利于加深学生对数学的理解，同时使学生体验到数学对于生活的价值5吸收概念精华，感悟数学思想概念是数学思维的的基础，是数学思维的精华，概念的获得是数学学习的节点而不是终点，引导学生感受和领悟隐含于概念形成中的思想方法，在概念的运用和
13、推广中渗透数学思想方法，这才是概念生成的核心必修三 “概率的频率定义”的教学中，除了随机性，还有频率的稳定性我在实际授课中设计了四个实验：投硬币看正反，电脑抽奖看分布图，蒲丰投针看圆周率，扑克牌看花色分布，让学生在做试验的过程感受到这种随机性和稳定性的过程，充分感悟和体验这种随机性和稳定性，使他们体会出“概率的频率定义”应用的广泛性，这个思想方法就是统计学的基石动手实验的价值在于生成数据的信度更高，相对于强加给学生信息，直接经验重于间接经验，数学思想得以真正体现在高三复习“方程”这个概念时，学生研究一元二次方程，得到其求根公式、维达定理等结论；研究分式方程得到化分式为整式的经验，注意分母不为零
14、；在研究无理方程时知道要考虑有理化和其存在的意义通过这些结论的对比分析，得到解方程的本质就是同解变形这些结论的生成和知识现象背后的本质不是教师灌输给学生的，而是学生在自主学习、合作研究的过程中探索得到的，对学生来说是原发性、持续性、创造性的知识从概念的系统中掌握概念，我们应该在研究获得的结论中进行筛选，提炼出形式最简、表征合理、有应用和推广价值的结论进行深度剖析一方面从结论的内涵出发，讨论结论成立的充分必要条件，可能引发出的新的结论等；另一方面从结论的外延即应用出发，用此结论解决各种实际或抽象问题，加深对结论的记忆，并体会数学学习的意义三、概念生成过程教学的几点反思1 “高屋建瓴”地深入理解概
15、念长期以来，我们只重视如何使学生理解数学概念，而忽略了教师本人如何“高屋建瓴”地深入理解这些概念，许多教师还缺乏对基本概念的真正实质上的深入理解没有教师自身概念知识广度和深度的研究，生成的过程教学就无从谈起 2 “了如指掌”地熟悉学生学情学生的已有知识，始于新知发生前，作为新知的起点，它决定了新知理解的角度、广度、深度以及态度，在理解的每时每刻，都参与其中，在教学设计时要重点考虑处理新旧概念间的矛盾教学中，教师只有全面了解学生以往的学习经验的基础上，才能开展有针对性这样的预设，概念生成过程才是真实的、深入的3 “真真正正”地展开师生互动教师与学生的互动，是概念课堂教学得以动态生成的形式要件概念
16、生成的课堂里，学生并不是知识的被动吸收者，而是积极主动的构建者，每个学生都以自己头脑已有的知识和经验为基础，用个人特有的思维方式构建对事物的理解、检验，不同的人看到不同的方面，各个层次的学生都有收获4 “扎扎实实”地展开探究活动概念教学中，学生主动探究是是概念建立的一个重要环节，教师不仅要学生自主探究，更重要的是要让学生掌握自主探究地方法，“授之以渔，不如授之以鱼” ，科学方法的掌握，科学思维的形成才能使学生终生受益，才能体现数学作为基础学科的应有作用概念教学要注意过程性，没有过程就等于没有思想重视概念教学的生成，不仅要让学生明白一些原理，更要让学生学会一种思维，一种对数学精神的领悟成功的概念课，就如同一段美好的旋律，给人一种美好的体验，要让学生体会前辈的心路历程，探索先哲的数学思想，这才是数学教学的真谛，这才是数学育人功能的最好注释
