钻孔轴线空间曲线方程的建立及探讨

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1、- 1 -钻孔轴线空间曲线方程的建立及探讨李 海 泉 赵 天 心（武警黄金第八支队, 河北 遵化 064200）摘 要 ： 为 了 提 高 钻 孔 测 斜 数 据 的 处 理 精 度 ，笔 者 提 出 钻 孔 的 方 位 角 及 倾 角 在 相 邻 测 斜 点 之间 是 均 匀 变 化 的 假 设 ； 以 微 积 分 学 为 工 具 ， 推导 出 钻 孔 轴 线 空 间 参 数 方 程 及 其 在 平 、 剖 面 上的 投 影 方 程 ；以实例对现行的数据处理方法所得结果和按曲线方程处理所得结果进行比较，认为该种处理方法比较接近实际情况，同时能为自动绘图提供方便。关 键 词 ： 钻 孔 轴 线

2、 ； 曲 线 方 程 ； 积 分 钻 探 工 程 是 控 制 矿 体 深 部 必 不 可 少 的 手 段 ， 设 计 钻孔 通 常 为 直 孔 或 斜 孔 ， 钻 孔 轴 线 为 一 条 空 间 直 线 ， 但 在钻 孔 施 工 过 程 中 由 于 受 岩 石 岩 性 、 岩 层 接 触 关 系 及 施 工 技术 等 影 响 ， 钻 孔 的 方 位 角 和 倾 角 大 多 数 情 况 下 是 变 化 的 ，此 时 钻 孔 轴 线 已 由 设 计 时 的 空 间 直 线 变 为 曲 线 ， 目 前 对 钻孔 轴 线 的 处 理 通 常 是 使 一 个 测 斜 点 的 钻 孔 方 位 角 、 倾

3、角 向上 下 各 影 响 与 相 邻 测 斜 点 距 离 的 一 半 ， 按 一 段 线 段 处 理（ 各 段 线 段 的 连 接 点 笔 者 称 为 “计 算 点 ”） ， 用 空 间 解 析几 何 的 方 法 计 算 出 钻 孔 计 算 点 在 水 平 平 面 上 的 投 影 点 及 勘 少数情况，当设计钻孔为定向孔时，钻孔轴线为曲线，同样能用本文提出的方法进行数据处理。第一作者简介：李海泉（1967-） ，男，河北省遵化人，武警黄金第八支队高级工程师，学士，从事地质矿产勘查工作。- 2 -探 线 剖 面 上 投 影 点 坐 标 ， 而 后 连 接 成 圆 滑 曲 线 1， 这种 处 理

4、方 法 不 足 之 处 是 当 钻 孔 的 方 位 角 、 倾 角 变 化 时 ， 计算 点 处 的 钻 孔 方 位 角 、 倾 角 是 突 变 的 ， 且 计 算 点 之 间 钻 孔方 位 角 、 倾 角 是 不 变 的 ， 这 与 钻 孔 的 空 间 实 际 位 置 是 不 相符 的 。笔 者 提 出 钻 孔 的 方 位 角 、 倾 角 的 变 化 在 各 测 斜 点 之 间是 均 匀 变 化 的 假 设 ， 在 此 基 础 上 建 立 钻 孔 轴 线 的 空 间 曲 线方 程 并 进 行 了 讨 论 ， 以 期 提 高 对 钻 孔 测 斜 数 据 的 处 理 精 度 。1 钻 孔 轴 线

5、 空 间 曲 线 方 程 的 建 立设 钻 孔 的 孔 深 为 l m， 方 位 角 为 a(弧 度 ， 下 同 )，倾 角 为 b(弧 度 ， 下 同 )， 孔 口 空 间 坐 标 为（ X0， Y0， Z0） （ 单 位 为 米 ， 下 同 ） ， 开 孔 方 位 角 为A0， 开 孔 倾 角 为 B0， 开 孔 孔 深 l0， l0=0 米 。 钻 孔 施 工 中测 斜 的 次 数 为 n， 各 测 斜 点 的 坐 标 为 （ Xi， Yi， Zi）(i=1,2,3,n)， 各 测 斜 点 的 数 据 为 （ li， Ai， Bi）(i=1,2,3,n)。钻 孔 的 轴 线 是 一 条

6、空 间 曲 线 ， 各 点 的 坐 标 是 孔 深 l的 函 数 ， 以 l 为 参 数 ， 钻 孔 轴 线 的 参 数 方 程 可 表 示 为,)(0nLllhzgyfx1.1 假 设 条 件钻 孔 在 施 工 过 程 中 是 按 规 范 要 求 每 隔 一 定 的 深 度 测量 一 次 孔 斜 ， 各 测 斜 点 之 间 的 钻 孔 孔 斜 数 据 是 未 知 的 ， 假定 各 相 邻 测 斜 点 之 间 的 钻 孔 方 位 角 (a)及 倾 角 (b)的 变 化- 3 -是 均 匀 的 ,也 就 是 说 二 者 的 变 化 是 线 性 的 ， 用 表 示 第iaki-1 和第 i 次测斜

7、之间方位角的平均变化率， 用 表 示 第 i-1ib和第 i 次测斜之间倾角的平均变化率，可得 11,iibiia lBklAk由 于 各 相 邻 测 斜 点 之 间 的 和 通 常 是 不 相 同 的 ， 所 以 ，iaibk钻 孔 轴 线 的 空 间 参 数 方 程 是 以 各 测 斜 点 为 分 界 点 的 分 段 函数 ,01ilitlt令则 空 间 曲 线 方 程 可 表 示 为)()3,21,0ithznilgyitfx1. 建 立 方 程- 4 -如 图 1 所 示 ， 曲 线 NV 是 钻 孔 轴 线 的 实 际 位 置 ， 曲线 NW 是 钻 孔 轴 线 在 勘 探 线 剖

8、面 上 的 投 影 ， 曲 线 NQ是 钻 孔 轴 线 在 水 平 面 上 的 投 影 ， 曲 线 NV 相 应 于 li-1， li（ 图 上 为 l2,l3） 上 的 任 一 小 区 间 ti , ti+dti的 一 段弧 的 长 度 与 曲 线 上 在 点 ti 处 的 切 线 上 相 应 的 一 小 段 tiR的 长 度 近 似 相 等 ， 即tiR dti 。因 此 函 数 在 点 ti 处 相 应 于)(,)(,)( ithzitgyfx自 变 量 ti 的 微 分 dti 的 微 分 分 别 为 idtbidz nilititay)sn( ),321,0()cos()(在 0，

9、ti 内 函 数 的 增 量)(,)(,)( ithzitgyitfx xi、 yi、 zi 为 ,)sin( ),321,0()cos()(0000 idtbtidzti nilitiayiitt 各 相 邻 测 斜 点 之 间 钻 孔 轴 线 的 空 间 参 数 方 程 为 idtbitiZziZz nilitiaYyy iitiXxix )sn( ),321,0(co)s()(001111- 5 -1. 积 分 式 的 计 算在 钻 孔 轴 线 的 空 间 参 数 方 程 中 含 有 积 分 表 达 式 ， 下 面求 出 用 原 函 数 表 示 的 参 数 方 程 ：1) xi 的 计

10、算 idtibkaiBAitbkiaBiAitiXdbaitiit )(cos)(coscos)(cs 1121100根 据 和 的 值 该 积 分 式 的 原 函 数 分 为 四 种 情 况 ：iakibitiBAiX idtiBiAitxiii )1cos()s( )cos(0111 12时当 itiBiAitiakiBiAiX dxbkaiakit )1cos()2sn( c02 21011214时当 itiakiBAitiBiAiX dixbiakit 0121 11 )2sn()cos( c3 40 时当 itibkiitibiixbka ibkai 00 )(s()(sn(4 1)

11、(211)(21 时当- 6 -2) yi 的计算 idtibkaiBAitbkiaBiAiYdbit itiiit )(sn()(sn(sn)co(s 1121100根 据 和 的 值 该 积 分 式 的 原 函 数 分 为 四 种 情 况iakibitBAiY idtiBiAiyiiit 1cossn )sn()(0111 12时当 itiBiAitiakiBiAiY dybkaiak itit )1sn()2cos( 02 210111214时当 itiakiBAitiBiAiY dtiybk iakit 0121 11 )2cos()sn( n3 40 时当 itibkiitibiiy

12、bka ibkai 00 )(cs()(1cos(4 )(21)(21 时当3) zi 的计算- 7 -idtibkBiZttzit )sn()110根 据 的 值 该 积 分 式 分 的 原 函 数 为 两 种 情 况ibk itibkiBiZzbkitiidBtZzibkik 00 )cos(2)1sn(1111 时当 时当2 讨 论2.1 钻 孔 的 方 位 角 (a)及 倾 角 (b)的 变 化 率考 察 钻 孔 在 ti 处 的 方 位 角 (倾 角 与 之 相 同 )的 瞬 时变 化 率 ： 设 在 ti 时 的 钻 孔 方 位 角 为 ai， 当 钻 孔 在 ti 处 获得 增

13、量 ti 时 ， 则 钻 孔 的 方 位 角 的 函 数 ai 相 应 的 有增 量 于 是 比 值)(aia,itit是 钻 孔 在 ti 到 ti+ ti 这 段 深 度 内 的 平 均 变 化 率 ， 记 作， 即iak,itak钻 孔 的 方 位 角 的 变 化 率 通 常 是 连 续 变 化 的 ， 从 整 体 上看 ， 变 化 率 是 变 化 的 ， 但 从 局 部 看 ， 在 一 段 很 短 的 钻 孔 进尺 ti 内 ， 变 化 率 的 变 化 不 大 ， 可 以 看 作 是 等 速 的 ， 因 此- 8 -当 ti 很 小 时 ， 可 以 作 为 钻 孔 在 ti 处 的 瞬

14、 时 变 化 率 的iak近 似 值 ， 当 ti 0 时 ， 的 极 限 就 是 方 位 角 在 ti 处 的i瞬 时 变 化 率 ， 即,itaiitaikiakititit )(lmllm000得 各 点 的 方 位 角 为,idtakitiAa01从 而 求 出 钻 孔 轴 线 的 准 确 位 置 。在 钻 孔 实 际 施 工 中 ， 相 邻 测 斜 点 的 间 隔 不 可 能 无 限小 ， 因 此 各 点 的 变 化 率 无 法 直 接 测 量 ， 在 数 据 处 理 时 只能 用 相 邻 测 斜 点 之 间 的 平 均 变 化 率 代 替 各 点 的 瞬 时 变 化率 ， 当 方

15、位 角 实 际 变 化 不 均 匀 时 ， 这 样 处 理 势 必 造 成 计算 得 到 的 钻 孔 曲 线 与 钻 孔 轴 线 的 空 间 位 置 有 一 定 的 偏 差 ，适 当 加 大 测 斜 点 的 密 度 和 提 高 测 斜 精 度 能 减 少 这 种 偏 差 。2.2 应 用1） 求 控 矿 点 的 空 间 坐 标将 见 矿 孔 深 代 入 方 程 中 即 可 求 出 控 矿 点 空 间 点 坐 标 。2） 求 平 面 图 上 投 影 图 方 程点 ti(xi,yi,zi)投 影 到 Z=Z0 水 平 面 上 的 投 影 点为,(it- 9 - 0 111 ),32,0()cos(sin(00Ziz nilitidbatiYyyXxix3） 求 钻 孔 轴 线 在 剖 面 上 的 投 影 方 程钻 孔 轴 线 上 点 ti 投 影 到 勘 探 线 剖 面 上