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1、 集合全章复习巩固【学习目标】1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；3理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一：集合的基本概念1集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，如110内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。2元素与集合的关系（1）属于： 如果是集合A的元素，就说属于A，记作A
2、。要注意“”的方向，不能把A颠倒过来写.（2）不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作。3集合中元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合1，2，3与3，1，2是同一个集合。4集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。无限集：含有无限个元素的集合。要点诠释：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作，空集归入有限集。要点二：集合间的关系1子集：对于两个集合A与
3、B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB，对于任何集合A规定。两个集合A与B之间的关系如下：其中记号（或）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。2子集具有以下性质：（1）AA，即任何一个集合都这是它本身的子集。（2）如果，那么A=B。（3）如果，那么。（4）如果，那么。3包含的定义也可以表述成：如果由任一xA，可以推出xB，那么（或）。不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么（或）。4有限集合的子集个数：（1）n个元素的集合有2n个子集。（2）n个元素的集合有2n1个真子集。（3）n个元素
4、的集合有2n1个非空子集。（4）n个元素的集合有2n2个非空真子集。要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集换言之，任何集合至少有一个子集要点三：集合的基本运算1用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。2用维恩图表示交集与并集。已知集合A与B，用阴影部分表示AB，AB，如下图所示。 3关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：（1）AA=A，A=，AB=(BA)A（或B）；AA=A，A=A，AB=(BA)A（或B）。（2）；。（3）德摩根定律：；。；（4）；。4全集与补集（1）它们是相互依存不可分离
5、的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。而补集则是在时，由所有不属于A但属于U的元素组成的集合，记作。数学表达式：若，则U中子集A的补集为。（2）补集与全集的性质，。，。5空集的性质空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；。【典型例题】类型一：集合的含义与表示例1选择恰当的方法表示下列集合。（1）“mathematics”中字母构成的集合；（2）不等式的解集；（3）函数的自变量的取值范围。【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。【解析】（1）；（2）或（3）或【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法
6、表示集合，关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。举一反三：【变式1】将集合表示成列举法，正确的是（ ）A.2，3 B.（2，3） C.x=2，y=3 D.（2，3）【变式2】已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 （ ）0123例2若含有三个元素的集合可表示为，也可以表示为，求的值。举一反三：【变式1】若。求实数的值。例3已知集合（1）若A是空集，求的取值范围。（2）若A中只有一个元素，求的值。（3）若A中至多只有一个元素，求的取值范围。类型二：集合的基本关系 例4设集合A=x1x3，B=xxa0，或AB，则a取值范围是_。举一反三：【变式1】 已知集合
7、A=xx1或x1，B=x2axa+1，若BA，求a的取值范围。【变式2】若集合B=1，2，3，4，5，C=小于10的正奇数，且集合A满足AB，AC，则集合A的个数是_。例5设集合,若，求实数的范围。 类型三：集合的基本运算例6已知全集U=R，集合M=x|2x12和N=x|x=2k1，k=1，2，的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）A3个 B2个 C1个 D无穷多个举一反三：【变式1】已知全集U=R，则正确表示集合M=1，0，1和N=x关系的韦恩图是（ ）A B C D【变式2】设全集为，求及例7若集合A=xx2ax+a219=0，B=2，3，C=2，4，满
8、足AB，且AC=，则实数a的值是_。例8设集合A=xa4xa+4，B=xx1或x5，若AB=R，则a的取值范围是_。举一反三：【变式1】 已知集合A=x2x5，B=xk+1x2k1，若AB=，求实数k的取值范围。例9设集合A=x1x5，B=xxa或xa+2，若，则a的取值范围是_。举一反三：【变式1】 已知集合A=x2x7，若AB=R，求实数k的取值范围。参考答案【变式1】【答案】B【变式2】【答案】例2【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。【答案】【解析】由，可得且，则有或解得或（舍去）故【总结升华】利用集合中元素特性来解题，既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学
9、者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。【变式1】【答案】【解析】由，可知或或，且。（1）若，则，此时，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去。（2）若，则，此时，符合集合的特性。（3）若，则方程无解。综上可得的值为。例3【答案】（1） （2）0， （3）或者m=0【解析】（1）当时，A不为空集，则不满足题意。当m0时，若A为空集，则一元二次方程实数范围内无解，即,。综上若A为空集，则。（2）由集合中只含有一个元素可得，方程有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当时，可得是一次方程，故满足题意.当m0时，
10、则为一元二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根，即判别式为0时的值，可求得为.故的取值为0，.（3）A中元素至多只有一个 ，有以下两种情况存在： 集合A是空集；集合A是只有一个元素 综合(1)(2)知,若A中元素至多只有一个, 或者m=0.【总结升华】 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集，所以本题实际上是讨论方程mx2-2x+3=0解的个数问题。例4【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式，可以借助数轴进行直观的分析。【解析】AB=xxa，利用数轴作图如下： 由此可知：a1。【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是：明确集
11、合中元素的范围及其满足的性质，借助Venn图来分析，直观性强。集合是由元素构成的，要确定一个集合的方法之二是：把集合中的元素一一找出来，用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是：明确集合中元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合，可借助数轴来分析，直观性强。【变式1】【解析】（1）当B是空集，需要2aa+1，得到a1（2）当B不是空集且B的上限小于等于-1，即a1且a+1-1，得到a-2（3）当B不是空集且B的下限大于等于1，即a1且2a1，得到1/2a1综上，a-2或a1/2【变式2】【思路点拨】由题设，C=1，3，5，7，9。因为AB，AC，可用Venn图发现集合B与C的公共元
12、素为1，3，5，则集合A可能含有1，3，5三个数中的0个，1个，2个，或3个。故集合A的个数即为1，3，5的子集的个数。【解析】由已知作Venn图1，3，5的子集中含0个元素的有1个：；1，3，5的子集中含1个元素的有3个：1，3，5；1，3，5的子集中含2个元素的有3个：1，3，1，5，3，5；1，3，5的子集中含3个元素的有1个：1，3，5。由上述分析知集合A的个数为1，3，5的子集的个数：1+3+3+1=8个。例5【答案】或【解析】，或当时，即，则是方程的两根，代入解得当时，分两种情况：（1）若，则，解得。（2）若，则方程有两个相等的实数根。，解得，此时，满足条件。综上可知，所求实数的范
13、围为或。【总结升华】要解决此题，应明确的具体含义：一是，二是。而时还应考虑能否是的情况，因此解题过程中必须分类讨论，另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题。例6【答案】B【解析】 阴影部分为MN=x|2x12x|x=2k1，k=1，2，=x|1x3x|x=2k1，k=1，2，=1，3，阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点举一反三：【变式1】【答案】B【变式2】【答案】=；=.例7【思路点拨】由题设，AB且AC=知，2，3与集合A的关系，再进行解答。【解析】 由已知：3A，2A，则323a+a219=0，即a=5或a=2。当a=5时，A=2，3，与题意矛盾；当a=2时，A=5，3，符合题意。由上述分析知a=2。【总结升华】 集合是由元素构成的，要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性质，再把集合中的元素一一找出来。例8【思路点拨】 此题考查两个集合并集的运算。由于题
