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1、 集合全章复习巩固【学习目标】1理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;2理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;3理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;4能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一:集合的基本概念1集合的概念一般地,我们把研究对象统称为元素,如110内的所有质数,包括2,3,5,7,则3是我们所要研究的对象,它是其中的一个元素,把一些元素组成的总体叫做集合,如上述2,3,5,7就组成了一个集合。2元素与集合的关系(1)属于: 如果是集合A的元素,就说属于A,记作A
2、。要注意“”的方向,不能把A颠倒过来写.(2)不属于:如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作。3集合中元素的特征(1)确定性:集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素;(2)互异性:集合中的任意两个元素都是不同的,也就是同一个元素在集合中不能重复出现。(3)无序性:集合与组成它的元素的顺序无关。如集合1,2,3与3,1,2是同一个集合。4集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类:有限集:含有有限个元素的集合。无限集:含有无限个元素的集合。要点诠释:把不含有任何元素的集合叫做空集,记作,空集归入有限集。要点二:集合间的关系1子集:对于两个集合A与
3、B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作AB,对于任何集合A规定。两个集合A与B之间的关系如下:其中记号(或)表示集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)。2子集具有以下性质:(1)AA,即任何一个集合都这是它本身的子集。(2)如果,那么A=B。(3)如果,那么。(4)如果,那么。3包含的定义也可以表述成:如果由任一xA,可以推出xB,那么(或)。不包含的定义也可以表述成:两个集合A与B,如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素,那么(或)。4有限集合的子集个数:(1)n个元素的集合有2n个子集。(2)n个元素的集合有2n1个真子集。(3)n个元素
4、的集合有2n1个非空子集。(4)n个元素的集合有2n2个非空真子集。要点诠释:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集换言之,任何集合至少有一个子集要点三:集合的基本运算1用定义求两个集合的交集与并集时,要注意“或”“且”的意义,“或”是两个皆可的意思,“且”是两者都有的意思,在使用时不要混淆。2用维恩图表示交集与并集。已知集合A与B,用阴影部分表示AB,AB,如下图所示。 3关于交集、并集的有关性质及结论归结如下:(1)AA=A,A=,AB=(BA)A(或B);AA=A,A=A,AB=(BA)A(或B)。(2);。(3)德摩根定律:;。;(4);。4全集与补集(1)它们是相互依存不可分离
5、的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合,则称之为全集。而补集则是在时,由所有不属于A但属于U的元素组成的集合,记作。数学表达式:若,则U中子集A的补集为。(2)补集与全集的性质,。,。5空集的性质空集的特殊属性,即空集虽空,但空有所用。对任意集合A,有,;。【典型例题】类型一:集合的含义与表示例1选择恰当的方法表示下列集合。(1)“mathematics”中字母构成的集合;(2)不等式的解集;(3)函数的自变量的取值范围。【思路点拨】集合的表示有两种形式,我们必须了解每种方法的特点,选择最佳的表达形式。【解析】(1);(2)或(3)或【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法
6、表示集合,关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。举一反三:【变式1】将集合表示成列举法,正确的是( )A.2,3 B.(2,3) C.x=2,y=3 D.(2,3)【变式2】已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为 ( )0123例2若含有三个元素的集合可表示为,也可以表示为,求的值。举一反三:【变式1】若。求实数的值。例3已知集合(1)若A是空集,求的取值范围。(2)若A中只有一个元素,求的值。(3)若A中至多只有一个元素,求的取值范围。类型二:集合的基本关系 例4设集合A=x1x3,B=xxa0,或AB,则a取值范围是_。举一反三:【变式1】 已知集合
7、A=xx1或x1,B=x2axa+1,若BA,求a的取值范围。【变式2】若集合B=1,2,3,4,5,C=小于10的正奇数,且集合A满足AB,AC,则集合A的个数是_。例5设集合,若,求实数的范围。 类型三:集合的基本运算例6已知全集U=R,集合M=x|2x12和N=x|x=2k1,k=1,2,的关系的韦恩(Venn)图如下图所示,则阴影部分所示的集合的元素区有( )A3个 B2个 C1个 D无穷多个举一反三:【变式1】已知全集U=R,则正确表示集合M=1,0,1和N=x关系的韦恩图是( )A B C D【变式2】设全集为,求及例7若集合A=xx2ax+a219=0,B=2,3,C=2,4,满
8、足AB,且AC=,则实数a的值是_。例8设集合A=xa4xa+4,B=xx1或x5,若AB=R,则a的取值范围是_。举一反三:【变式1】 已知集合A=x2x5,B=xk+1x2k1,若AB=,求实数k的取值范围。例9设集合A=x1x5,B=xxa或xa+2,若,则a的取值范围是_。举一反三:【变式1】 已知集合A=x2x7,若AB=R,求实数k的取值范围。参考答案【变式1】【答案】B【变式2】【答案】例2【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。【答案】【解析】由,可得且,则有或解得或(舍去)故【总结升华】利用集合中元素特性来解题,既要用元素的确定性,又要利用互异性检验解的正确与否,初学
9、者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外,本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。【变式1】【答案】【解析】由,可知或或,且。(1)若,则,此时,与集合中元素的互异性相矛盾,故舍去。(2)若,则,此时,符合集合的特性。(3)若,则方程无解。综上可得的值为。例3【答案】(1) (2)0, (3)或者m=0【解析】(1)当时,A不为空集,则不满足题意。当m0时,若A为空集,则一元二次方程实数范围内无解,即,。综上若A为空集,则。(2)由集合中只含有一个元素可得,方程有一解,由于本方程并没有注明是一个二次方程,故也可以是一次方程,应分类讨论:当时,可得是一次方程,故满足题意.当m0时,
10、则为一元二次方程,所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根,即判别式为0时的值,可求得为.故的取值为0,.(3)A中元素至多只有一个 ,有以下两种情况存在: 集合A是空集;集合A是只有一个元素 综合(1)(2)知,若A中元素至多只有一个, 或者m=0.【总结升华】 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集,所以本题实际上是讨论方程mx2-2x+3=0解的个数问题。例4【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式,可以借助数轴进行直观的分析。【解析】AB=xxa,利用数轴作图如下: 由此可知:a1。【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是:明确集
11、合中元素的范围及其满足的性质,借助Venn图来分析,直观性强。集合是由元素构成的,要确定一个集合的方法之二是:把集合中的元素一一找出来,用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是:明确集合中元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合,可借助数轴来分析,直观性强。【变式1】【解析】(1)当B是空集,需要2aa+1,得到a1(2)当B不是空集且B的上限小于等于-1,即a1且a+1-1,得到a-2(3)当B不是空集且B的下限大于等于1,即a1且2a1,得到1/2a1综上,a-2或a1/2【变式2】【思路点拨】由题设,C=1,3,5,7,9。因为AB,AC,可用Venn图发现集合B与C的公共元
12、素为1,3,5,则集合A可能含有1,3,5三个数中的0个,1个,2个,或3个。故集合A的个数即为1,3,5的子集的个数。【解析】由已知作Venn图1,3,5的子集中含0个元素的有1个:;1,3,5的子集中含1个元素的有3个:1,3,5;1,3,5的子集中含2个元素的有3个:1,3,1,5,3,5;1,3,5的子集中含3个元素的有1个:1,3,5。由上述分析知集合A的个数为1,3,5的子集的个数:1+3+3+1=8个。例5【答案】或【解析】,或当时,即,则是方程的两根,代入解得当时,分两种情况:(1)若,则,解得。(2)若,则方程有两个相等的实数根。,解得,此时,满足条件。综上可知,所求实数的范
13、围为或。【总结升华】要解决此题,应明确的具体含义:一是,二是。而时还应考虑能否是的情况,因此解题过程中必须分类讨论,另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题。例6【答案】B【解析】 阴影部分为MN=x|2x12x|x=2k1,k=1,2,=x|1x3x|x=2k1,k=1,2,=1,3,阴影部分所示的集合的元素区有2个,故选B项【总结升华】具体集合(给出或可以求得元素的集合)的交、并、补运算,以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象,因而也是高考命题的热点举一反三:【变式1】【答案】B【变式2】【答案】=;=.例7【思路点拨】由题设,AB且AC=知,2,3与集合A的关系,再进行解答。【解析】 由已知:3A,2A,则323a+a219=0,即a=5或a=2。当a=5时,A=2,3,与题意矛盾;当a=2时,A=5,3,符合题意。由上述分析知a=2。【总结升华】 集合是由元素构成的,要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性质,再把集合中的元素一一找出来。例8【思路点拨】 此题考查两个集合并集的运算。由于题