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1、2.5 平面向量应用举例,一.复习: 1.平面向量数量积的含义: 2.平面向量数量积的运算律.,3.重要性质:,(1),(2),(3),|a |=,向量的长度(模),向量的夹角,设a、b为两个向量,且a(x1，y1),b(x2，y2),向量数量积的坐标表示,向量平行和垂直的坐标表示,设a、b为两个向量,且a(x1，y1),b(x2，y2),1.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？,3.AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？,5.根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？,探究（一）：推
2、断线段长度关系,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。,练习:用向量方法求证：直径所对的圆周角为直角。,已知:如图，AC为O的一条直径，ABC是圆周角 求证： ABC=90,利用向量的数量积 可解决长度、角度、垂 直等问题,理论迁移,1.三角形的三条高线具有什么位置关系？,交于一点,3.对于PABC,PBAC,用向量观点可分别转化为什么结论?,4.如何利用向量观点证明PCBA?,探究（二）：推断
3、直线位置关系,练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,1,建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；,2,通过向量运算，研究几何元素之间的关系；,3,把运算结果翻译成几何关系.,向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！,1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！,2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的
4、叠加也用到向量的合成！,探究（三）：向量与物理的关系,例题,例1：同一平面内，互成 的三个大小相等的共点力的合力为零。,证：如图，用a，b，c表示这3个共点力，且a，b，c互成120，模相等,按照向量的加法运算法则，有： a +b +c = a +（b +c）=a +OD,又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故 a与OD共线且模相等,例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？,分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：,用向量F1，F2，表示两个提力，它们的合
5、向量为F，物体的重力用向量G来表示， F1，F2的夹角为，如右图所示，只要分清F，G和三者的关系，就得到了问题得数学解释！,F2,小结： （1）为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！,（2）由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！,（3）用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。,分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。,（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不
6、变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。,把物理问题转化为数学模型为：,km/h,一、选择题（每小题3分，共15分） 1.已知| |=2| |,且| |0且关于x的方程x2+| |x- =0有两相等实根，则向量 与 的夹角是（ ） （A）- （B）- （C） （D） 【解析】选D.由已知可得=| |2+4 =0， 即4| |2+4|2 | |cos=0, cos=- ,= .,2.如图，已知正六边形P1P2P3
7、P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是 （ ）,【解析】选A.利用数量积的几何意义，向量 、 、 、 中， 在向量 方向上的投影最大，故 最大.,3.已知P是ABC所在平面内的一点,若 = + ,其中R,则点P一定在（ ） （A）AC边所在的直线上 （B）BC边所在的直线上 （C）AB边所在的直线上 （D）ABC的内部 【解析】选A. C、P、A三点共线,P在AC边所在的直线上.,4.（2019广州模拟）已知非零向量 , 和 满足 则ABC为（ ） （A）等边三角形 （B）等腰非直角三角形 （C）非等腰三角形 （D）等腰直角三角形,【解析】选A. 表示的是BAC的平分线上的一个向量，又与 的
8、数量积等于0，故BC与A的平分线垂直，ABC是等腰三角形. 又 ,即cosBCA= , BCA= ,ABC是等边三角形.,5.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量=(2cosC-1,-2), =(cosC,cosC+1),若 ,且a+b=10,则ABC周长的最小值为（ ） （A）10-5 （B）10+5 （C）10-2 （D）10+2,【解析】选B.由 (2cosC-1)cosC-2(cosC+1)=0, 解得cosC=- .又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2- 2ab-2abcosC=100-2ab-2ab(- ), c= =5 (当且仅当a=
9、b=5时取等号),所以ABC的周长C10+5 .,二、填空题（每小题3分，共9分） 6.（2019泉州模拟）已知向量 =(cos,sin), =(cos(+ ),sin(+ ),则| - |=_. 【解析】 答案:1,7.若O为ABC所在平面内一点，且满足( - )( + -2 )=0,则ABC的形状为_. 【解析】由已知 ABC为等腰三角形. 答案:等腰三角形,8.（2019聊城模拟）给出以下四个命题： 对任意两个向量 , 都有| |=| | |； 若 , 是两个不共线的向量，且 = , 则A、B、C共线 12=-1； 若向量 =(cos,sin), =(cos,sin),则 + 与 - 的
10、夹角为90； 若向量 、 满足| |=3,| |=4,| + |= ,则 , 的夹角为60. 以上命题中，错误命题的序号是_.,【解析】错, 错，A、B、C共线， =k , 1=k 2k=1,12=1. 答案:,变式训练,(2019年 高一统考) 河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向8 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( ),D,2、人骑自行车的速度为V1，风速为V2，则逆风行驶的速度大小为（ ）,C,1、ABC中，已知 则ABC的形状是（ ） A、等腰三角形 B、正三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形,拓展训练：,B,3.平行四边形ABCD中，若 则下列判断正确的是( ) A四边形ABCD是矩形 B四边形ABCD是正方形 C四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形 D四边形ABCD是邻边不垂直的菱形,A,4、已知作用于原点的两个力F1=（3,4），F2=（2，-5），现增加一个力F，使这三个力F1，F2，F的合力为0，则F=（ ） A（1,1） B（5，-1） C（-1，-9 ） D（-5,1）,D,B,1用向量解决平面几何问题,2用向量解决物理问题,物理问题转化为数学问题再用向量知识解决,备选例题,
