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1、2010 届高三数学专项训练数列测试题 （时间： 100 分钟满分 100 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 4 分，共 48 分 (1)等差数列3， 1，5，的第15 项的值是 (A) 40 (B) 53 (C) 63 (D) 76 (2)等差数列 an 中， a3 =2，则该数列的前5 项的和为 (A)10 (B) 16 (C) 20 (D)32 (3)数列1， 1 3 ， 1 3 2 ， ， 1 3 n的各项和为 (A) 1 1 3 n 1 1 3 (B) 1 1 3 n + 1 1 1 3 (C) 1 1 3 n1 1 1 3 (D) 1 11 3 (4)已知数列 an满足
2、 a1 =0，an+1 = an+2n，那么 a2005的值是 (A)2003 2004 (B)2004 2005 (C) 2005 2 (D) 2005 2006 (5)已知数列an （nN）中， a1 = 1，an+1 = an 2an + 1 ，则 an为 (A) 2 n 1 (B) 2n + 1 (C) 1 2n1 (D) 1 2n + 1 (6)在等比数列an 中，a7a11 =6， a4 +a14 =5， 则 a20 a10 = (A) 2 3 (B) 3 2 (C) 2 3 或 3 2 (D) 2 3 或 3 2 (7)lim n 3+C 1 n + C 2 n + +C n n
3、 2n = (A) 0 (B) 3 2 (C)1(D) 不存在 (8)小丁储备2008 年赴京观看奥运会的费用，他从2001 年起到 2007 年，每年元旦到银行存入 a 元一年定期储蓄， 若年利率r 保持不变， 且每年存款到期自动转存新的一年定期到 2008 年元旦将所有的存款和利息悉数取出，可提取 (A) a(1+r)8元 (B) a r (1+ r)7(1+r)元 (C) a r (1+r)8 1元 (D) a r (1+r)8(1+r)元 (9)已知 an是等差数列，bn是正项等比数列，其公比q1，若 a1 = b1，a11 = b11，则 (A) a6b6(C) a6 b6(D) a
4、6b6 (10) 等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a1 0，S4 =S8，则当 Sn取得最大值时，n 的值为 (A) 5 (B)6 (C) 7 (D) 8 (11) 数列 n a的前 n 项和为 1 21 n n S，那么该数列前2n 项中所有奇数位置的项的和为 （A） 2 (41) 3 n （B） 21 1 (21) 3 n （C） 1 (41) 3 n （D） 4 (41) 3 n (12) 等差数列, nn ab的前 n 项的和分别为, nn S T，若 2 31 n n Sn Tn ，则 lim n n n a b = （A） 1 (B) 6 3 (C) 2 3 (D) 4
5、9 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 3 分，共 12 分 (13) 已知 an 为等差数列，a1=2，S10=110设 an=log05 bn( n N*) ，则 bn的各项和 为 (14) 微处理器在诞生后的25 年之内，非常准确地遵循“摩尔定律”：半导体芯片每18 个月集成 度翻番，价格减半半导体芯片价格降低，必然导致电脑价格降低若每 4 年电脑的价格 降低三分之一，则现价为8100 元的电脑12 年后价格可能降为 (15) 在等比数列中，a9 + a10 = a (a 0)， a19 + a20 = b，则 a99 + a100等于 (16) 对于 n N* ，若 an 是等差数列
6、，则数列 a1 + a2 + an n 也是等差数列类比上述性质， 相应地，若 bn是正项等比数列，则数列 也是等比数列 三、解答题：本大题共小题，共40 分 （17） （本小题满分8 分）设数列 n a是等比数列， 121 (1)2 nnn TnanaaaL，已 知 12 1,4TT, (1)求数列 n a的首项和公比； （2）求数列 n T的通项公式。 （18） （本小题满分10 分）已知数列an 的各项均为正数，且满足 a2=5， an+1 = an22n an+2，(n N*) 推测并证明an的通项公式 （19） （本小题满分10 分）已知数列an中， a1 =1，前 n 项和为 Sn
7、，且点 (an，an+1)在直线 xy+1=0 上计算 1 S1 + 1 S2 + 1 S3 + 1 S99 （20） （本小题满分12 分）某县与沙漠化进行长期的斗争全县面积为p， 2002 年底绿化率 达 2 5 ，从 2003 年开始， 每年绿化原有沙漠面积的 1 5 ，但与此同时， 原有绿化面积的 1 20 被沙化设 2002 年底的绿化面积为a1，经过 n 年后的绿化面积为an+1 (I) 求 2003 年底的绿化面积 (II ) 经过多少年后，绿化率达 7 10 ? 参 考 答 案 (1) B ， a15=3+4(151)=53；(2)A，S5=5a3；(3)B，即求数列的前n+1
8、 项的和； (4) B ， 解递推式an+1 = an+2n，得， an+1 =( an+1an)+ ( anan-1)+ + ( a2a1)+ a1=n (n+1)； (5) C， a1 = 1，an+1 = an 2an + 1 ， an 0， 1 an+1 = 1 an +2， 1 an 为等差数列， 1 an =1+2(n1)= 2n1 an = 1 2n1 ； (6) C ，a4a14= a7a11=6， a4+a14=5， 构造方程x 25x+6=0 ，解得： a4 =3 a14 =2 或 a4 =2 a14 =3 a20 a10 = a14 a4 = 2 3 或 3 2 ； (7
9、) C， lim n 2+2n 2 n=1 (8) D，a(1+r)7+a(1+r)6 +a(1+r)2 +a(1+r) =a r (1+r )8 (1+r)； (9) B a6 = a1+ a11 2 a1a11= b1 b11= b6，注意到q1，不能取等号 (10) B ，Sn=d 2 n 2+( a1d 2 )n由 a1 0，S4 =S8知公差 d0(n N*) 知： a2 = a122 a1+2， 故 a1=3， a3 = a224 a2+2=7 推测 an =2n +1 (n N*) 用数学归纳法证明如下： 当 n =1 时，已成立； 假设 n = k 时，成立，即ak =2k +
10、1 ， 则 ak+1 = ak22k ak+2= (2k+1) 22k (2k +1)+2=2 k +3=2(k +1) +1 即当 n = k+ 1 时，也成立 由数学归纳法原理知对任意的n N* ，成立 (19)解：点 (an，an+1)在直线 xy+1=0 上， an an+1+1=0， 即 an+1= an+1， an是等差数列，首项和公差均为 1， an =1+( n1)= n Sn = 1+2+ n= n(n+1) 2 ， 1 Sn = 2 n(n+1) =2( 1 n 1 n+1 ) 1 S1 + 1 S2 + 1 S3 + 1 S99 =2(11 2 )+2( 1 2 1 3
11、)+2( 1 3 1 4 )+2( 1 99 1 100 )=2(1 1 100 )= 99 50 (20) 解： (I ) 已知 a1 = 2 5 p，a2 = a1 (1 1 20 )+ 1 5 ( pa1)= 3 4 a1 +1 5 p =1 2 p， 2003 年底的绿化面积为 1 2 p； (II ) an+1 = an (1 1 20 )+ 1 5 ( pan)= 3 4 an +1 5 p ，(n N*) (an+1 4 5 p)= 3 4 (an 4 5 p) (an+1 4 5 p)= ( a1 4 5 p) ( 3 4 ) n an+1 = 4 5 p 2 5 p ( 3 4 ) n 4 5 p 2 5 p ( 3 4 ) n 7 10 p 1 4 ( 3 4 ) n n 5 五年后绿化率达 7 10
