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1、简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 由球的定义确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. 正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 构造长方体或正方体确定球心 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. 若三
2、棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 由性质确定球心 利用球心O 与截面圆圆心O1 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确 定球心. 二：常见几何体的外接球小结 1、设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。,a 2,（1）截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得 R ,；,（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作截面图，,2,圆O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R 2 a 。,（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5，以对角面 AA1 作截面图得，
3、圆O,2,1,1 11,为矩形 AA C C 的外接圆，易得 R A O 3 a 。,6 a 4,外接球半径为： R ,三：常见题型 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是 解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法,2. 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为,3 ，则其外接球的表面积是 .,解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以 将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其 外接球的半径为 R ，则有 2R a2
4、b2 c2 .,图 1,图 2,图 3 2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为 a ， O 也是球心） 内切球半径为： r 6 a 12,2,3.正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点,S、A、B、C、D 都在同一球面上，则此球的体积为 .,解析：寻求轴截面圆半径法,4. 在矩形 ABCD 中， AB 4, BC 3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成,一个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为（ ） 解析：确定球心位置法,四：练习 1、已知点 P 、A、B、C、D 是球O 表面上的点，PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为
5、2 3 的正方形.若 PA 2 6 ，则OAB 的面积为多少？ 2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 多少？ 3、三棱锥 S ABC 中， SA 平面 ABC ， SA 2 ， ABC 是边长为 1 的正三角形，则其外接 球的表面积为多少？,C,A,D,B,O 图4,C,D,A,S,O1 图3B,3,4、点 A、B、C、D 在同一个球的球面上， AB BC 2 ， AC 2 ，若四面体 ABCD 体积,2,的最大值为，则这个球的表面积为多少？ 3,5、四面体的三组对棱分别相等，棱长为5, 34, 41 ，求该四面体外接球的体积.,6、正四面体 ABCD 外接球的体积为4,3 ，求该四面体的体积.,7、若底面边长为 2 的正四棱锥 P ABCD 的斜高为 5 ，求此正四棱锥外接球的体积. 8、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，,9,且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 . 8 9、已知球O 的面上四点 A、B、C、D， DA 平面ABC ， AB BC ， DA=AB=BC= 3 ， 则球O 的体积等于 .,4,
