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1、今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室专题五数列本 的主要内容是数列的概念、 两个基本数列等差数列、 等比数列 部分知 是高考中的重点内容考察数列知 往往与其他知 相 系，特 是函数知 数列本身就可以看作特殊(定 在 N *)的函数因此解决数列 是常常要用到函数的知 ， 一步涉及到方程与不等式本 的重点 是在两个基本数列等差数列、等比数列上，包括概念、通 公式、性 、前 n 和公式51数列的概念【知 要点】1从函数的 点来 数列，通 函数的表示方法，来 数列的表示方法，从而得到数列的常用表示方法通 公式，即：an f(n) 2 数列特有的表示方法 推法有一个初步的 会根据 推公式写出数列的前
2、几 ，并由此猜 数列的一个通 公式3明确数列的通 公式与前n 和公式的关系：Sn a1 a2 an；anS1(n1)SnSn 1(n2)特 注意 数n 的要求， 相当于函数中的定 域【复 要求】1了解数列的概念和几种 的表示方法(列表、 象、通 公式)2了解数列是自 量 正整数的一 函数【例 分析】例 1根据数列的前几 写出 数列的一个通 公式：(1) 1 , 3 , 7 ,15 , 31 ； 2 4 8 16 32(2)2， 6， 18， 54，162；(3)9， 99， 999， 9999，99999；(4)1， 0， 1，0， 1， 0；(5）3,13 , 31 , 57 , 91 ,1
3、33 ；24681012(6） 3 , 1 , 5 , 3 , 7 , 2 ；52117175【分析】 本 需要 察每一 与 数之 存在的函数关系，猜想出一个通 公式 种通 特殊的元素得到一般的 律是解决 的常用方法，但得到的 律不一定正确，可 明来 你的 解： (1) an2n1112n2n ；(2)an 2 ( 3)n 1；(3)an 10n 1；今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室1 n为奇数(4) an 0n为偶数 ；(5) an 2n 11；2n(6) an n 2 3n 2【评析】 (1)中分数的考察要把分子、 分母分开考察， 当然有时分子分母之间有关系； (2) 中正负相间的
4、情况一定与 ( 1)的方次有关； (3)中的情况可以扩展为 7， 77， 777， 7777 ，77777an7 (10n1) ； (4) 中的分段函数的写法再一次体现出数列是特殊的函数，也可9写成 an1 (1)n 1，但这种写法要求较高； (5) 中的假分数写成带分数结果就很明显了；21234(6) 中的变换要求较高，可根据分子的变化，变换整个分数，如246，根据分子，8把 1 变为 4 ，其他类似找到规律28例 2已知：数列 an 的前 n 项和 Sn，求：数列 an 的通项公式 an，(1)Snn2 2n 2；(2) Sn( 3)n12【分析】已知数列前 n 项和 Sn 求通项公式 a
5、n 的题目一定要考虑n 1 与 n 2 两种情况，即： an Sn Sn1 不包含 a1，实际上相当于函数中对定义域的要求解： (1)当 n 1 时， a1 S1 1，当 n2 时， an Sn Sn 1 2n3，则 an1n12n 3n.2(2)当 n 1时， a1S11 ,2当 n2 时， anSnSn 11( 3)n 1 ，此公式也适合n 1 时的情况，1( 3)n 1 .22则 an22【评析】 分情况求出通项公式an 后，应考察两个式子是否能够统一在一起，如果能够统一还是写成一个式子更加简洁；如果不能统一就要写成分段函数的形式，总之分情况讨论后应该有一个总结性结论例 3 完成下列各题
6、：(1)数列 an 中， a1 2 an 1anln(11 ) ，则 a3 ()nA 2 ln3B 2 2ln3C 23ln3D 4(2)已知数列 an 对任意的 p，q N *满足 ap q ap aq，且 a2 6，那么 a10 等于 ()A 165B 33C 30D 21今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室52*(3)数列 an 中， an4n2,a1a2ananbn,nN ，其中 a，b 常数，则 ab _【分析】 本 中三个小 都涉及数列的 推关系， ，最好的 法是 n ，通 特殊的 找到一般的 律解： (1) an 1 anln( 11)anln n 1anln( n 1)ln
7、 n ，nn a2 a1 ln(1 1) ln1 2 ln2 ，a3 a2 ln(2 1) ln2 2ln3 ， A (2) ap q ap aq， a2a1 1a1a16a13, a3 a21 a2 a1 63 9，a5 a32 a3 a2 9 6 15，a10 a 5 5a5 a5 30 C(3) a1 a2 an an2 bn，a1aba1a2，4a 2b3a ba252 an，1 ， ab 14n311b22b224a2【 析】 种通 特殊的 解决数列 的方法今后 常用到，希望大家掌握例 4已知：函数 f(x) a1 a2x a3x2 an xn 1， f (0)2*n an(n N
8、)，求：数列 an 的通 【分析】 首先要 用f(0)与 f(1) 两个条件，由 可看出可能与1，且数列 an 足 f(1) 2Sn 与 an 关系有关解： 由 知： f (0) a11， f(1) a1 a2 ann2an，2即： Sn n2an， Sn 1 (n 1)2an 1(n 2)， an Sn Sn 1 n2an (n 1)2an 1(n 2)，22ann12)，(n 1)an (n 1)an 1(n 2)，即： an 1n(n1anan 1a4a3a2n 1 n 2 n 33 2 1 (n 2) ，an 1an 2a3a2a1n 1nn15 4 3即 an112(n2) ， an
9、1(n 2) ，a1n 1nn( n1)当 n 1 ， a111上式也成立，122 an1(n N* ) n( n1)今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室Sn 与【评析】 本题中，题目给出函数的条件，而 an 的关系应该是要求掌握的，尤其是在f(0) 与 f(1)的运用就完全转化为数列问题，n1 出现时，要注意n 2 的限制，这相当于函数中的定义域而叠乘的方法是求数列通项的基本方法之一今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室练习 5 1一、 ：1数列2 , 5 ,8 , 11 ,14的通 公式 ()4710 1316A ( 1)n 1 3n 1B ( 1)n 3n 1C ( 1) n 3n 2D ( 1)n 3n 33n13n13n13n12若数列的前四 是3， 12，30， 60， 此数列的一个通 公式是()A n(n1)(n2)B 5n2 6n
