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1、第8章 多元函数微分法,及其应用,2,8.1 多元函数的极限与连续,平面点集,多元函数的概念,多元函数的极限,多元函数的连续性,小结 思考题 作业,function of many variables,一维数轴上的邻域:,回忆,一、平面点集,4,（1）邻域,(Neighborhood),将邻域去掉中心称之为去心邻域.,5,（2）区域,6,7,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,8,有界闭区域；,无界开区域,例如，,9,有界开区域,有界半开半闭区域,有界闭区域,无界闭区域,10,（3）聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,11,点集E的聚点
2、可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,12,（4）n维空间, n维空间的记号为,说明：, n维空间中两点间距离公式,13, n维空间中邻域、区域等概念,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,邻域：,设两点为,14,（5）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,15,多元函数定义域:,定义域为符合实际意义,的自变量取值的全体.,实际问题中的函数:,的自变量取值的全体.,纯数学问题的函数:,定义域为使运算有意义,16,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,17,解,定义域是,
3、有界半开半闭区域,18,一元函数的图形,一元函数的图形是平面上的一条曲线,回忆,19,二元函数的图形是空间的一张曲面,二元函数的图形,20,例,上半球面,下半个圆锥面,2,D,21,例如,图形如右图.,例如,右图球面.,单值分支:,22,的图形是双曲抛物面(马鞍面).,又如,它在xOy平面上的投影是全平面.,23,回忆: 一元函数的极限,讨论二元函数,二、多元函数的极限,有,简写,25,路径又是多种多样的.,方向有任意多个,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,26,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,(double limit),27,例2 求证,
4、证,由夹逼准则，原结论成立,28,例3 求极限,解,其中,29,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,30,确定极限不存在的方法：,31,练习,取,解,极限不存在.,取,32,关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.,33,三、多元函数的连续性,定义3,34,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,35,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值,f(P)是有界闭区域D上的多元连续函数，则f(P)在D上可取得介于任意两个不同函数值之间的任何值,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,36,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,37,例,解,38,作业,习题8.1(第313页),
