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1、,1.直线运动的瞬时速度问题,一质点作直线运动,已知路程 s 与时间 t 的,试确定t0时的瞬时速度v(t0).,这段时间内的平均速度,在每个时刻的速度.,解,若运动是匀速的,平均速度就等于质点,一、问题的提出,关系,质点走过的路程,此式既是它的定义式,又指明了它的计算,它越近似的,定义为,并称之为t0时的瞬时速度v(t0).,瞬时速度是路程对时间的变化率.,若运动是非匀速的,平均速度,是这段,时间内运动快慢的平均值,越小,表明 t0 时运动的快慢.,因此, 人们把 t0时的速度,注,方法,割线的极限位置,对于一般曲线如何定义其切线呢?,2.曲线的切线斜率问题,若已知平面曲线,如何作过,的切线
2、呢.,初等数学中并没有给出曲线切线的定义.,过该点的切线.,我们知道与圆周有唯一交点的直线,即为圆周,但此定义不适应其它曲线.,如,与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.,切线位置.,?,曲线上点,法国,数学家费马在1629年提出了如下的定义和求法,P.de Fermat 1601-1665,从而圆满地解决了这个问题.,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,二、导数的定义,定义,其它形式,即,处不可导或导数不存在.,特别当(1)式的极限为,有时也说在x0处导数是正(负)无,当极限(1)式不存在时,就说函数 f (x)在x0,正(负)无
3、穷时,穷大,但这时导数不存在.,关于导数的说明：,注意:,播放,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,例,用导数表示下列极限,解,练习,解,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,三、由定义求导数,步骤:,例,解,例,解,更一般地,例如,例,解,例,解,例,解,例,解,四、导数的几何意义与物理意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,例,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为
4、物体的线(面,体)密度.,五、可导与连续的关系,定理 凡可导函数都是连续函数.,证,连续函数不存在导数举例,例如,注意: 该定理的逆定理不成立.,例如,例如,例,解,，为了使 f(x) 在x0处可导,解,首先函数必须在x0处连续.,由于,故应有,又因,应如何选取a,b ?,从而,当,f(x) 在x0处可导.,六、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,思考题1,思考题1解答,思考题
5、2,(是非题),非,可导;,但,不可导.,非,但,不可导.,作业,习题2-1(85页),4. 6. 8.(3)(4) 9. (2) 11.,练习题答案,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,
