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1、2.1 一维随机变量及其分布,刘妍丽主讲,随机变量,离散型,非离散型,连续型,混合型（奇异型）,分布,分布列,密度函数,分布函数,一、一维随机变量,1、符号表示：用大写字母X,Y,Z,表示； 随机变量的取值用小写字母x,y,z,表示。 2、引入作用：把随机事件数量化 3、定义：实值函数X= ,使样本空间 实数 4、分类： 离散型：取值有限个或无限可列个 非离散型 连续型：取值充满区间 混合型：既非离散型又非连续型,举例说明随机变量的定义,研究产品，有放回抽样。 一次检验的产品不合格率为p. （1）一个产品。X表示不合格品数，则取值为0,1 （2）两个产品。X表示不合格品数，则取值为0,1,2,
2、三个产品。 X表示不合格品数，则取值为0,1,2,3 n个产品。 X表示不合格品数，则取值为0,1,2,3,n 这就是二项分布（常见的离散分布）,二、分布函数,1、DEF X的分布函数 可以看作 的概率累加 所有区间的概率都可以用Xx的概率表示出来的。 2、分布函数的运算,a,b,x,x,x,a,b,x,x,x,3、分布函数的性质,（1）单调性 由单调性得， 即,（2）有界性： 根据概率的非负性，得到,（3）右连续性： 证明：,例2.1.1 构造分布函数,X,解：令X表示此点到圆心的距离，则取值0,r,r,x0,0,xr,1,几何概率,例2.1.2 判断是否为分布函数,（1）,x,F(x),1
3、,0,单调性,有界性,右连续性,左连续性,（Cauchy）柯西分布,F(x)是分布函数。,是连续型随机变量的分布函数。,单调有界的连续函数,（2）,c,1,x,F(x),单调性,有界性,右连续性,F(x)是分布函数。,是离散型随机变量的分布函数。,单调有界的右连续阶梯函数,单点分布,（3）,x,F(x),0,1,1,单调性,有界性,右连续性,F(x)是分布函数。,但X既不是离散型也不是连续型,三、分布列离散型随机变量,1、DEF 列表描述,2、性质 （1）非负性 （2）正则性 例2.1.3,用于判定是否为分布列,3、常见计算,（1）分布列 （2）分布列,分布函数,例2.1.4,概率,（3）分布
4、函数 （4）分布函数,分布列,例2.1.4,概率,常见分布,单点分布 X取值单点 分布列 P（X=c）=1 分布函数 F(x)=,0,1,Xc,Xc,其它例子:例2.1.5,解：令X表示首次遇到红灯前已通过的路口数，取值为0,1,2,3。 因为每个信号灯显示红灯信号的时间相等，所以P（红灯）=P（绿灯）=1/2 法一：根据古典概率 法二：根据独立性 Ai=“第i个信号灯红灯”，i=1,2,3 P(X=0)=P(A1)=1/2,四、密度函数连续型随机变量,1、DEF 则p(x)为密度函数。 2、性质 （1）非负性 （2）正则性,判定是否为密度函数,3、常见计算 （1） （3） （2） （4）,例
5、1.2.7 均匀分布,解：,例2.1.8 三角分布,五、比较离散型与连续型,密度函数,单调有界、连续函数,连续型,（ 是阶段点） 其它情况为0,分布列,单调有界、右连续、阶梯函数,离散型,区间的概率,点的概率,特有分布描述,分布函数,取值,六、应用,例2.1.10解：X表示寿命，则,例2.1.11,解：X表示这个点的坐标，取值（0， a）,例2.1.12,习题2.1 16题 P(x)偶函数的分布函数的特殊性质,（1）,（2） （3）,例2.1.3 掷两颗骰子,(1)令X为点数之和，则X取值2,3,12,因为总数确定，只须定第一颗骰子的可能性，则第二颗骰子就确定了。,（2）令Y为点6的个数，则Y取值为0,1,2,（3令Z为最大点数，则Z取值为1,2,3,4,5,6,例2.1.4 由分布列求分布函数，求概率,分布列,分布函数,例2.1.4 由分布函数求分布列，求概率,分布函数,分布列,
