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1、2.3函数的单调性与最值,一、函数的单调性,1.函数的单调性定义:,一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;,函数.,2.利用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的一般步骤:,在区间D上任取x1,x2,且x1x2,计算f(x1)-f(x2),变形成乘积的形式或者是其他可以判断符号的形式,判断f(x1)-f(x2)的符号,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减,下结论(函数f(x)在
2、区间D上的单调性).,3.函数的单调性与奇偶性的关系,奇函数在其关于原点的对称的区间上的单调性相同;,偶函数在其关于原点的对称的区间上的单调性相反.,4.判断函数单调性的方法:,定义证明抽象函数的单调性;,概念分析法,利用x增大,逐步推出函数值y是增大还是减少来判断函数的单调性;,导数法;,函数图像法(涉及平移,对称问题等);,复合函数的单调性;,函数的性质法.,二、函数的最值,1.函数的最大值的定义:,一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足对于任意的xI,都有f(x)M;存在xI,使得f(x)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.,2.函数的最小值的定义:,一般地,
3、设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足对于任意的xI,都有f(x)M;存在xI,使得f(x)=M.那么,我们,称M是函数y=f(x)的最小值.,1.四个函数中,在(0,1)上为增函数的是(),(A)y=-log2x. (B)y=sin x.,(C)y=()x.(D)y= .,【解析】y=-log2x=lox为减函数,y=()x为减函数,y= =在 (0,+)上为减函数,只有y=sin x在(0,1)上是增函数,故选B.,【答案】B,2.函数f(x)=x2-3x,x2,4的最大值是(),(A)-2. (B)4. (C)-3. (D)2.,【解析】函数f(x)的对称轴为x=,开口向上,f(
4、x)在2,4上为增函数,f(x)max=f(4)=16-12=4,故选B.,【答案】B,3.已知偶函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,则满足f( ) f(x)的x的取值范围是(),(A)(2,+).(B)(-,-1).,(C)-2,-1)(2,+). (D)(-1,2).,【解析】由“偶函数f(x)在区间(0,+)单调递增”可得 2.,【答案】C,题型1函数的单调性与最值,例1(1)函数f(x)= 在区间2,3的最小值为,最大值为.,(2)偶函数f(x)在0,+)上是增函数,则不等式f()f(2)的解集 为.,(3)定义在R上的函数y=f(x)在(-100,2上是增函数,且y=f(x+2)
5、的图像关于y轴对称,则(),(A)f(-1)f(2)f(3).(B)f(3)f(-1)f,(2).,(C)f(-1)f(3)f(2). (D)f(3)f(2)f(-1).,【分析】(1)f(x)= 的图像可由y=的图像向右平移1个单 位得到,再利用图像分析其单调性.,(2)偶函数f(x)在0,+)上是增函数,故函数图像上的点离y轴的距离越大,函数值越大.,(3)y=f(x+2)图像向右平移2个单位后可得到y=f(x)的图像,再利用图像解决问题.,【解析】(1)分析函数的图像可知,f(x)= 在区间2,3是单调减函数,f(x)min= = ,f(x)max= =1.,(2)偶函数f(x)在0,+
6、)上是增函数,不等式f()f(2)等价于|,2,|x|且x0,-x0或0x.,(3)y=f(x+2)的图像向右平移2个单位后为y=f(x)的图像,y=f(x+2)的图像关于y轴对称,y=f(x)的图像关于x=2对称,f(1)=f(3),y= f(x)在(-100,2上是增函数,f(-1)f(1)f(2),即f(-1)f(3)f(2),故选C.,【答案】(1)1(2)(-,0)(0,)(3)C,【点评】(1)用函数的图像分析函数的单调性的关键是熟悉,各种初等函数的图像.,(2)利用函数的单调性解决不等式问题是常考的题型.,(3)利用函数的单调性和对称性分析、比较函数值的大小是高考中的常考试题.,
7、变式训练1(1)已知f(x)=x2+2(a-1)x+2在(-,2上是减函数,则实数a的取值范围为.,(2)函数f(x)= 在,+)上是增函数,则实数a的取值范 围为.,(3)函数f(x)=log7(ax2+2x+1)在(1,+)上是增函数,则实数a的取值范围为.,【解析】(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2在(-,2上是减函数,则函数的,对称轴x=1-a2,a-1.,(2)f(x)= =x+2.,当a0时,f(x)在,+)上是增函数;,当a0时,f(x)=1-,令f(x)0,则x 或x- ,故要使f(x)在,+)上是增函数,则 ,0a.,综上:实数a的取值范围为(-,.,(3)当a=0时,
8、f(x)=log7(2x+1)在(1,+)上是增函数;,当a0时,f(x)=log7(ax2+2x+1)在(1,+)上不可能是增函数;,当a0时,y=ax2+2x+1的对称轴为x=-0,且开口向上,y=ax2 +2x+1在(1,+)上是增函数,f(x)=log7(ax2+2x+1)在(1,+)上是增函数.,综上:实数a的取值范围为0,+).,【答案】(1)(-,-1(2)(-,(3)0,+),例2已知函数f(x)=x3-ax-1.,(1)若a0,请用定义证明函数f(x)在R上单调递增.,(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由
9、.,【分析】(1)用定义证明函数的单调性时要注意格式;(2)对存在性问题的探索,首先是假设存在,看能否导出相应结论或矛盾.,题型2函数的单调性与参数问题,【解析】(1)在R上任取x1,x2且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-ax1-1-(-ax2-1),=(x1-x2)(+x2x1+-a),=(x1-x2)(x1+x2)2+-a,x1x2,x1-x20,x1与x2不同时为零,(x1+x2)20,0,又-a0,(x1+x2)2+,-a0,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),函数f(x)在R上单调递增.,(2)假设存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-1,1)上任取
10、x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(+x1x2+-a).,-1x1x21,1,x1x21,1,+x1x2+3,+x1x2+-a3-a,f(x)在(-1,1)上单调递减,则f(x1)-f(x2)0,3-a0,a3.,存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减,此时实数a的取值范围为3,+).,【点评】利用函数的定义分析函数的单调性,即比较f(x1)-f(x2)与0的大小,再利用不等关系解决问题.,变式训练2已知函数f(x)=x2+(x0,aR),若f(x)在区间2, +)上是增函数,求实数a的取值范围.,【解析】在2,+)上任取x1,x2,且x1x2,则f(x1)
11、-f(x2)=+-(+),=(x1-x2)(x1+x2)-,= (x1+x2)x1x2-a,2x14,x1x24,(x1+x2)x1x216,(x1+x2)x1x2-a16-a,f(x)在区间2,+)上是增函数,则f(x1)-f(x2)0,16-a0,a16,实数a的取值范围为(-,16.,例3函数f(x)的定义域为R,对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f()=2,又当x-时,有f(x)0.,(1)求f(-),f(1)的值;,(2)求证:f(x)在R上是单调增函数;,(3)设集合A=y|f(x2)+f(y2)0, AB=A,求实数a的取值范围.,题型3函数单调性的综
12、合,【分析】(1)特值法可以求出f(-),f(1)的值;(2)紧扣当x-时, 有f(x)0,由定义证明函数的单调性;(3)充分理解所给条件的含义,将其转化为不等关系,从而求出a的取值范围.,【解析】(1)f(m+n)=f(m)+f(n)-1,f(1)=f()+f()-1=2+2-1=3,f()=f1+(-)=f(1)+f(-)-1,f(-)=f()-f(1)+1=2-3+1=0.,(2)在R上任取x1,x2且x1x2,则f(x1)-f(x2),=f(x1-x2)+x2-f(x2),=f(x1-x2)+f(x2)-1-f(x2),=f(x1-x2)-1,=f(x1-x2-)+-1,=f(x1-x
13、2-)+f()-1-1,=f(x1-x2-),x1x2,x1-x2-,f(x1-x2-)0,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),f(x)在R上是单调增函数.,(3) A=y|f(x2)+f(y2)4=y|f(x2+y2)+14=y|f(x2+y2)3.,f(1)=3,A=y|f(x2+y2)f(1)=y|x2+y21,A=y|-1y1.,B=x|f(ax+y+2)=1,x+y+30,B=x|f(ax+y+2)=f(0),x+y+30=x|ax+y+2=0,y-x-3,B=x|-ax-2-x-3=x|(1-a)x-1,当a=1时,B=R,AB=A.,当a1时,B=x|x ,AB=A,
14、1,1a2.,当a ,AB=A,-1,0a1.,综上:实数a的取值范围为0,2.,【点评】本题考查了特值法求函数值、转化化归的方法证明函数的单调性、利用函数的单调性解决参数取值范围问题,还牵涉到用讨论的方式解决问题.,变式训练3已知定义在区间(0,+)上的函数f(x)满足f()= f(x1)-f(x2),且当x1时,f(x)0.,(1)求f(1)的值;,(2)判断f(x)的单调性;,(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.,【解析】(1)令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.,(2)任取x1,x2(0,+),且x1x2,则1,由于当x1时,f(x
15、)0,所以f()0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.,(3)由f()=f(x1)-f(x2)得f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.,由于函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数,由f(|x|)9,x9或x-9.,因此不等式的解集为x|x9或x-9.,1.定义法与导数法均可以用来判断函数的单调性,定义法可以分析抽象函数的单调性,如果能求导,导数法对函数的单调性分析更加形象直观,也比较简洁,显示出导数的优越性.,2.只要把握住了函数的单调性或者单调区间,那就可以分析函数的值域与最值.,3.熟悉
16、复合函数的单调性的性质与判定,对解决某些问题可以起到迅速和准确的效果.,例求函数y= 的单调区间.,【错解】y= 可看成由y= 和u=x2+x-6复合而成,而 y= 单调递增,故只需研究u=x2+x-6的单调性,u=x2+x-6=(x+ )2-,u在(-,-上是减函数,在-,+)上是增函数,原函数的单调递增区间为-,+),单调递减区间为(-,-.,【剖析】复合函数的单调性要考查内外函数的公共定义域,错解在于没有先确定f(x)的定义域.,【正解】f(x)的定义域为(-,-32,+),而y= 由y= 和u=x2+x-6复合而成,又u=x2+x-6=(x+)2-,u在(-,-上是减函数,在-,+)上是增函数,f(x)在(-,-3上是减函数,在2,+)上是增函数.,即原函数的单调递增区间为2,+),单调递减区间为
