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1、第九章 含权债券的定价,Blacks Model 利率二叉树 期限结构的艺术利率模型 含权债券的定价 利率顶与利率底 互换选择权 可赎回和可回售债券 可转换债券,期权定价模型 Black-Scholes model,BlackScholes(1973) 其中，c为买入期权的价格，S为标的股票的当前市价，K为买入期权的执行价，T为距离到期日的时间，r为无风险利率， 为股价变动的标准差。,B-S公式的比较静态分析,例：Black-Scholes 模型的问题,给欧式 call option 定价：3年零息债券，行权价为$110, 面值为$100。 结论很明显，应该是0。 但在下面假设情况下，r =
2、10% ，4%的年价格波动率，用Black-Scholes 模型计算出来的价格为7.78!,应用传统 Black-Scholes Model给债券定价的问题,如果要使用上述公式为债券定价，我们必须要假设债券价格未来3年的演变过程，可这一过程异常的复杂，原因如下： 债券价格在到期日必须收敛至面值，而股票的随机演变过程不需要这一限制。 随着到期日的临近，债券价格的波动率会下降，B-S公式假定波动率为常数显然不合适。 B-S公式假定短期利率为常数，而在固定收益证券方面，我们又假定了债券价格随机变动，明显矛盾。 此外，上述的利率可能为负值也是一个问题。,Blacks Model,尽管存在着以上问题，B
3、lack-Scholes 的变形，即Blacks Model, 也还经常被使用，其条件是: a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。 b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数正态分布。 例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期时，就可以利用Blacks Model,利用Blacks Model给欧式期权定价,利用Blacks Model给欧式期权定价,T = 期权到期日 F = 到期日为T，价值为V的远期价格 K = 执行价格 r = T期的即期收益率 (连续利率) = F的波动率 N = 累积正态分布 Pc = value of call Pp = value of put,例:
4、 应用 Blacks Model,给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 年，面值 $1,000, 半年利息 $50 (在3个月后和9个月后得到)? 已知 今天债券价格 $960 (包括应计利息) 执行价格 $1,000 3个月的无风险利率为 9% ，9个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风险利率为10% (以年为基础，连续利率) 债券价格的波动率为年9%,例: 应用 Blacks Model,求解 第一步: 找到远期价格 计算期权价格的参数为:F = 939.68, K=1000, r=0.1, =0.09, T = 10/12=.8333.,例: 应用 Blacks Mode
5、l,Blacks Model的缺陷,尽管Blacks Model通过假定某个利率，或债券价格，或其他变量在将来某个时刻的概率分布为对数正态，从而在某种程度上改进了Black-Scholes Model的缺陷，这也使得这一模型能够被应用于对上限、欧式债券期权和欧式互换这样的产品定价，但是，这一模型仍然有局限性。 这些模型不能够对利率如何随时间变化来提供描述，因此，对美式互换期权、可赎回债券或结构性债券产品定价时就不再适用了。 因此，我们需要将注意力由债券的价格转移至利率上来。,含权债券定价的定价策略,可回购债券的价值 =不可回购债券价值 -Call Option 的价值 可回卖债券的价值 =不可
6、回卖债券价值 + Put Option的价值 回购债券定价策略: 利用利率模型给不可回购债券定价 利用利率模型给嵌入的call option定价.,利率二叉树（binomial interest rate tree）,前面已经提及，当我们为债券的含权证券定价时，我们需要将注意力转移到利率的演化上来。 假设6个月期和1年期的即期利率分别为3.99%和4.16%。另外，6个月后6个月的即期利率可能演变成4%与4.5%，图示如下：,利率二叉树与无套利定价,根据即期利率目前所呈现的期限结构与6个月期利率的树状图，我们可以计算6个月期与1年期零息债券的价格。面值1000美元的6个月零息债券，其价格树状图
7、为：,980.4402=1000/(1+0.0399/2),利率二叉树与无套利定价,面值1000美元的1年期零息债券，其价格树状图为： 注：在这里，我们按照半年复利进行贴现的。,959.6628=1000/(1+0.0416/2)2,977.9951=1000/(1+0.045/2)2,959.6628=1000/(1+0.04/2)2,利率二叉树与无套利定价,1年期零息债券在“日期1”的期望价格（expected price）是： 0.5*977.9951+0.5*980.3922=979.1937 以当时的6个月期即期利率将上述价格折算为“日期0”的现值，则期望折现值为： 979.1937
8、/(1+0.0399/2)=960.04 这一数值与前面的959.6628并不相同，为什么？因为上述期望值是有风险的。,利率二叉树与无套利定价,考虑一个在6个月之后可以以978.50美元的价格买进面值为1000美元的6个月零息债券的期权的价值。选择权价值的树状图如下：,利率二叉树与无套利定价,无套利原理为我们提供了一套处理上述问题的定价方法，这一点在上一章中已有所体现。 我们在“日期0”使用6个月期和1年期零息债券构建一个当利率上升到4.5%时价值为0，当利率上升到4%时价值为1.8922的组合。 假定F0.5和F1分别表示6个月和1年期债券的面值，有,利率二叉树与无套利定价,解前述方程式得，
9、 F0.5=-772.0005，F1=789.3705 即需要买进面值为789.3705美元的1年期零息债券，卖空772.0005美元的6个月期零息债券。 依据无套利原理，选择权的价格应当为， 0.9804402*-772.0005+0.9596628*789.3705=0.63 而当我们直接将选择权的树状图中的值加权并贴现时，其价值等于(0.5*0+0.5*1.8922)/(1+0.0399/2) =0.9276，要大于选择权的真实价值。,利率二叉树与无套利定价,与考察股票期权的价值时不考虑股价变动的概率相似，我们在计算上述选择权价值时，并未考虑利率发生变动的机率。 这里给出的解释与股票期权
10、的解释相同，即无论利率上升的机率是0.1还是0.9，我们组合的成分均不变。 这可能会引发人们的疑问，即各种状况出现的“机率”扮演的是什么角色？利率上升和下降的机率实际上已经反映在债券的价格之中了，因而已经通过这一渠道影响了选择权的价值。,利率期权的风险中性定价,在前面，我们利用无套利原理，通过构建投资组合的方法得到了选择权的价值，但这一方法并不简便，我们可以借用上一章提出了风险中性定价原理来为利率期权定价，具体如下： 在前面，我们已经说明了，未来的期望值的现值并不等于该债券的价格，但某一虚拟的机率可以做到这一点。,利率期权的风险中性定价,假定P为“上行状况”的机率，(1-P)为“下行状况”的机
11、率，依据下述方程式有，P等于0.661，并不是我们假定的实际机率0.5。 让我们再次考虑选择权价格的树状图，,利率期权的风险中性定价,当我们使用上述的“虚拟机率”（风险中性概率）对选择权的价值求期望并贴现时有， 可以看出，这一结果与前面使用复制的投资组合的方法得出的结论完全一致。 这就是上一章已经提及的风险中性定价。作为现代金融学中最为微妙的概念，我们将风险中性定价在利率期权中的应用步骤总结如下： 求取虚拟机率而使根本证券（underlying securities）的价格等于其未来期望值的现值。然后，根据虚拟机率来计算利率期权的期望价值的现值。,利率期权的风险中性定价,具体逻辑如下： 首先：
12、在一个既定的零息债券价格树状图之下，一种证券根据套利方式所定的价格并不取决于投资者的风险偏好。既然人人都同意复制的投资组合的价值，他们也应当会同意期权合约的价值。 其次，设想一个经济体系，它的当时债券价格与6个月期的利率演变和我们的经济体系相同。在这一经济体中，每个人都具有中性的风险偏好，且通过组合的现金流得到风险中性概率。 再次，在中性风险偏好的经济体内，选择权的定价是将现金流的期望值折现为现值。 最后，由于中性风险偏好的经济体的价格和利率演变与我们的完全相同，因此，我们的经济体和风险中性经济体内选择权的价值相等。,股票定价不能使用套利定价的原因,没有任何的组合能够复制未来个股价格的波动。,
13、风险中性定价的扩展,前面的分析都是在两期框架下进行的，从这里开始，我们开始讨论三期框架下的情形。假定当时1.5年期的即期利率为4.33%。 我们仍然假定6个月期利率只有两种演变可能，即上行和下行。但是，“上行-下行”与“下行-上行”并不一定相等，即如下图。,风险中性定价的扩展,这种树状图一般被称为“非结合性树状图”（non-recombining tree）。从经济的角度来看，这一设定非常合理，但是在实务中，这一设定非常难于处理，甚至无法处理。当我们处理一个二十年期的债券时，最后一期的节点数将超过5000亿个。因此，我们一般设定结合性的树状图，我们设定一个1.5年期的树状图如下。,风险中性定价
14、的扩展,当树状图的阶段增加时，我们需要设计某种方法来表示节点的位置。一种常用的方法是，以“日期”表示树状图的“列”，起始点为0，从左忘右计数。以“状况”来表示树状图的“行”，起始点为0，由下往上计算。我们很容易构建1.5年期零息债券的价格树状图，如下。,937.7641=1000/(1+0.0433/2)3,风险中性定价的扩展,在上图中，Pu和Pd是表示1.5年期债券在经过了0.5年之后的价格，它当时是1年期的零息债券，这两个价格是未知的。我们很自然就想到使用风险中性概率求取债券的期望值，并将其折算为市场价格。具体的树状图如下。,风险中性定价的扩展,依据风险中性定价的偏好，我们有 解之得，q=
15、0.632。,风险中性定价的扩展,此时，1.5年期零息债券价格的树状图变为：,风险中性定价的扩展,此时，我们可以使用“日期0”和“日期1”两组风险中性概率，和利率的树状图为含权债券定价了。例如，某1年期证券的到期价值有三种可能的结果：500、100、-10，该证券未来一年的树状图为，,风险中性定价的扩展,“日期1-状况1”的价格为 “日期1-状况0”的价格为 “日期0”的价格为,风险中性定价的扩展,既然我们可以将风险中性定价模型由2期扩展到3期，那么我们应当可以将其扩展至任何日期。计算(n+1)个半年期债券价格的步骤如下： (1)取得当时的利率期限结构，即r(0.5),r(1),r(1.5),
16、 r(2)r(n/2+0.5)；(2)设定6个月期利率在未来n期的演变图，换言之，就是“日期0”到“日期n-1”之间的利率树状图；(3)分别计算1年期、1.5年期（n/2+0.5）年期零息债券价格的树状图，以及所有相关的风险中性概率；(4)计算(n+1)个半年期的债券价格：由债券的到期价值依次往前推算，其依据是风险中性概率。最终得到第0期的价格。,一年期即期利率的树状图,根据前面所讨论的1.5年期零息债券价格树状图，我们可以计算6个月之后所可能发生的两个1年期即期利率。在6个月之后，1.5年期的债券将成为1年期的零息债券，它有两个可能的价格：955.6376与960.4493。这两个价格蕴含的1年期利率为4.59%与4.08%，由于我们假定当时的1年期利率为4.16%，因此，1年期利率的树状图如下：,单一因子模型的缺陷,实质上，上述6个月之后1年期即期利率之所以能够推算出来，是因为当我们确定了6个月期利率的树状图之后，已经隐含的假定所有固定收益证券的价格都可以由6个月期利率的演变所决定。也就是说，我们假定的每种可能状况都完全取决于该状况的6个月期利率。 在多重因子模型(mu
