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1、数学试卷（理科） 第卷 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 |y1Axx，集合 2 | 20Bxxx，则 RC AB 等于（） A0,2 B1,2 C0,1 D 2. 复数 2 14 1 i z i 的虚部为（） A -1 B -3 C 1 D 2 3. 若抛物线 2 20ypxp上的点 0,2A x 到其焦点的距离是A到y轴距离的3 倍， 则 p 等于（） A 1 2 B 1 C 3 2 D 2 4. 已知向量 ab、 满足 1,23,aba 与 b 的夹角的余弦值为 17 sin 3
2、 ，则 2bab 等 于（） A 2 B -1 C. -6 D-18 5. 已知0,x，且 2 cos2sin 2 xx，则tan 4 x等于（） A 1 3 B 1 3 C. 3 D -3 6. 如图是一个程序框图，则输出的S的值是（） A 18 B 20 C. 87 D90 7. 某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200 个机械元 件情况如下： 使用时间（单位：天） 1020213031404150 5160 个数10 40 80 50 20 若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3 个，则至少有2 个元件的使用寿命在30 天以上的概率为（） A 13 1
3、6 B 27 64 C. 25 32 D 27 32 8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A 6 B 9 C. 12 D 18 9. 已知 12 x是函数3sin2cos 20fxxx图象的一条对称 轴，将函数 fx 的图象向右平移 3 4 个单位后得到函数 g x 的图象，则函数 g x 在 , 46 上的最小值为（） A -2 B -1 C. 2 D 3 10. 已知函数 2,01 1,1 x fx x ， 则不等式 213 4 loglog41log15xxfx 的解 集为（） A 1 ,1 3 B 1,4 C. 1 ,4 3 D 1, 11. 已知双曲线 22 22
4、:10,0 xy Cab ab 的左、右焦点分别为12,0,0 ,FcFcP、是 双曲线 C 右支上一点，且 212PFF F . 若直线 1PF 与圆 222 xya相切，则双曲线的离 心率为（） A 4 3 B 5 3 C. 2 D 3 12. 已知函数 x fxexbbR. 若存在 1 , 2 2 x，使得0fxxfx，则实 数b的取值范围是（） A 8 , 3 B 5 , 6 C. 35 , 26 D 8 , 3 第卷 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸 上 13. 6 2 x x 的展开式中常数项为 14. 如果实数 , x y 满足条件 21
5、0 240 10 xy xy y ，则 2xy z x 的最大值为 15. 设 ABC 三个内角 ABC、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，若 22 sin4sin,sinsinsin27aCAcacbABCc，则ABC的面积 为 16. 已知长方体 1111 ABCDA B C D内接于球O， 底面ABCD是边长为2 的正方形， E 为 1 AA 的中点， OA 平面BDE，则球 O 的表面积为 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分12 分） 已知等比数列 na 的前n项和为 nS ，且 1* 63 n nSa nN . （1）求 a 的值及数列
6、 na 的通项公式； （2）若 2 31 1log nnnn baaa，求数列 1 nb 的前n项和 nT . 18. （本小题满分12 分） 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题， 按题目要求独立完成. 规定：至少正确完成其中2 道题的便可通过. 已知6 道备选题中应聘者 甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 2 3 ，且每题正 确完成与否互不影响. （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 19. （本小题满分12 分） 在四棱锥 PABC
7、D 中，PA平面 ABCD ， ABC 是正三角形， AC 与 BD 的交点为 M ， 又 0 4,120PAABADCDCDA，点N是CD的中点 . （1）求证：平面 PMN 平面PAB； （2）求二面角APCB的余弦值. 20. （本小题满分12 分） 已知右焦点为 2 ,0Fc 的椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点 3 1, 2 ，且椭圆C关于直线 xc对称的图形过坐标原点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 1 ,0 2 作直线 l 与椭圆 C 交于 EF、 两点，线段 EF 的中点为 M ，点 A 是椭圆 C 的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围. 21. （
8、本小题满分12 分） 已知函数 1 ln, a fxxax gx x ，其中aR. （1）设函数h xfxg x，求函数h x的单调区间； （2）若存在 01,xe ，使得 00fxg x 成立，求a的取值范围. 请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是 2sina ，直线l的参数方程是 3 5 4 5 xta yt （t为参数）. （1）若2,aM为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求MN的最大值； （2）若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 26 ，求 a 的值 . 23. （本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲 设函数 1fxx . （1）求不等式2fxx的解集； （2）若28 fxxa 对任意xR恒成立，求实数a的取值范围.
