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1、,高中数学常用公式及结论 一、集合与常用逻辑用语： 1 集合a , a , a 的子集个数共有2n 个；真子集有 2n 1个；非空子集有 2n 1个。 12n 2 含有一个量词的否定： 量词改变，结论否定,3 真值表： 同真且真，同假或假,4 常见结论的否定形式：,5 四种命题的相互关系:（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 原 命 题 互 逆 逆 命 题 若 则 若 则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否 命 题 逆 否 命 题 若非则非 互逆 若非则非 充要条件： (1)、 p q ，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件； 、 p q
2、，且 q p，则 P 是q 的充分不必要条件； 、p p ，且q p ，则 P 是 q 的必要不充分条件； 、p p ，且 q p，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 、 A B , A 是 B 的充分条件(小范围 大范围) 二、函数： 1 二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式 f (x) ax2 bx c(a 0) ; (2) 顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0) ;（当已知抛物线的顶点坐标(h, k) 时，设为此式） (3) 零点式 f (x) a(x x1 )(x x2 )(a 0) ；（当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为(x1 , 0),(x2 , 0) 时）
3、 2 函数单调性: 增函数： x1 x2 , f (x1 ) f (x2 ) f（x）在 xD 上是减函数。（y 随 x 的增大而增大）,1,减函数： x1 x2 , f (x1 ) f (x2 ) f（x）在 xD 上是减函数。（y 随 x 的增大而减小） 等价关系： (1)设 x1, x2 a,b, x1 x2 那么,(x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 0 ,12,x x,f (x1 ) f (x2 ) 0 f (x)在a,b上是增函数；,12,1,2,(x x ) f (x ) f (x ) 0 ,12, 0 f (x) 在,x x,f (x1 ) f (x2 ),a,b上
4、是减函数.,(2)设 y f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0 ，则 f (x) 增；如果 f (x) 0 ，则 f (x) 减. 单调性性质：(1)增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；（两个函数定义域交集） (2)增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数；,(3),1,f (x), f (x) 与 f (x) 单调性相反，f (x) 与 f (x) 单调性相反。（有意义的前提）,复合函数的单调性： y f g(x)，由 y f (u) 和u g(x) 复合，同真异减。 3 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：在前提条件
5、下，若有f (x) f (x)或f (x) f (x) 0 ，则 f（x）就是奇函数。 性质：（1）奇函数的图象关于原点对称； 奇函数在 x0 和 x0 和 x0 上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系： 奇函数偶函数=奇函数；奇函数奇函数=偶函数； 偶奇函数偶函数=偶函数； 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点 对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 4函数的周期性： 定义：对函数f（x），若存在 T 0，使得f（x+T）=f（x） T 是f（x）的一个周期。 周期函
6、数几种常见的表述形式： f（x+T）= - f（x），此时周期为 2T ； （2）f（x+m）=f（x+n），此时周期为 2 m n ；,1,f (x),(3) f (x m) ,，此时周期为 2m ;,两条对称轴： x a, x b ，此时周期为T 2 a b ；（形如 y sin x, y cos x ） 两个对称点： (a,0),(b,0) ，此时周期为T 2 a b ；（形如 y sin x, y cos x ）,2,(6)一条对称轴：一个对称点：x a,(b,0) ，此时周期为T 4 a b ；（形如 y sin x, y cos x ） 5 对称性：对于函数 y f (x) ( x
7、 R ), f (x) f (x) 函数 f (x) 关于 y 轴对称 f (x) f (x) 函数 f (x) 关于原点对,2,a b,函数 f (x) 的对称轴是 x ,函数 f (x) 的对称轴是 x a,函数 f (x) 关于点（,2,a b,，0）对称, f (x a) f (b x) 特别地： f (x) f (2a x) f (x a) f (b x) 特别地： f (x) f (2a x) ,函数 f (x) 的对称点(a,0),1, y f (x) 与 y g(x) 互为反函数 y f (x) 与 y g(x) 关于 y x 对称 特别地： (a, b) 与(b, a) 关于
8、 y x 对称 6 图像变换： 平移变换： y f (x) 沿 x 轴方向平移 a 个单位长度 y f (x a) 左加右减 y f (x) 沿 y 轴方向平移b 个单位长度 y f (x b) 上加下减 对称变换： y f (x) 与 y f (x) 关于 y 轴对称 y f (x) 与 y f (x) 关于 x 轴对称 y f (x) 与 y f (x) 关于原点对称 y f (x) 与 y f (2a x) 关于 x a 成轴对称 y f (x) 与 y f (2a x) 关于(a,0) 成点对称 伸缩变换： y f (x) 纵坐标伸缩为原来的 A 倍 y Af (x) y f (x)
9、横坐标伸缩为原来的倍 y f ( Ax) A 翻折变换： y f (x) ：作出 y f (x) 的图像，保留 x 轴上方图像，将 x 轴下方图像沿着 x 轴翻折上去。 y f ( x ) ：作出 y f (x) 的图像，保留 y 轴右方图像，将其沿着关于 y 轴翻折到左边，右边不变。 （ y f ( x ) 是偶函数） 7 分数指数幂与根式的性质：,m (1) a n n am （ a 0, m, n N ，且n 1）.,11,n am,a n,m,（2） a n m （ a 0, m, n N ，且n 1）.,（3） ( n a )n a .,nnnn,a, a 0,（4）当 n 为奇数时
10、， a a ；当 n 为偶数时， a | a |,a, a 0,.,8 指数式与对数式的互化式: loga N b a N (a 0, a 1, N 0) . b 9指数与指数函数： 指数性质： (1)1、a p 1；（2）、a0 1（ a 0 ）； (3)、amn (am )n ap m (4)、ar as ar s (a 0, r, s Q)；(5)、a n n am；,3,y,x,y,0,1,01,指数函数：(1)、 y ax (a 1) 在定义域内是单调递增函数；,（2）、 y ax (0 a 1) 在定义域内是单调递减函数。 注：指数函数图象都恒过点（0，1） 10对数与对数函数：
11、对数性质：若a 0, a 1, M 0, N 0 ，则,M a N,(1) 、 loga M loga N loga (MN ) ；（2） 、 loga M loga N log,；,aa,am,m,aa,(3)、 log bm m log b；(4)、 logbn n log b ；(5)、 log 1 0,(6) 、 loga a 1；,(7)、,aloga b b,对数的换底公式 : log,a,m,log a,N logm N ( a 0 ,且 a 1, m 0 ,且 m 1, N 0 ).,对数函数： (1)、 y loga x(a 1) 在定义域内是单调递增函数；,（2）、 y l
12、oga x(0 a 1) 在定义域内是单调递减函数； 注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、loga x 0 a, x (0,1)或a, x (1, ),(4)、loga x 0 a (0,1)则x (1, ) 或 a (1, )则x (0,1) 11 幂函数:幂函数在第一象限的情况： 所有的图形都通过(1，1)这点，a 大于 0，函数过(0，0)； 当a 大于 0 时，幂函数为单调递增的，而a 小于 0 时，幂函数为单调递减函数。,12 平均增长率的问题（负增长时 p 0 ）： 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有 y N (1 p)x
13、. 三、导数： 1 f (x) 在 x0 处的导数（或变化率）：,0,x x0,f (x ) y,x0 xx0,x, lim y lim f (x0 x) f (x0 ) .,t 0 tt 0,4,t,瞬时速度： s(t) lim s lim s(t t) s(t) .,t,瞬时加速度： a v(t) lim v lim v(t t) v(t) .,t 0 tt 0 2 函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义：,函数 y f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y f (x) 在 P(x0 , f (x0 ) 处的切线的斜率 f (x0 ) ，相应的切 线方程是 y y0 f (
14、x0 )(x x0 ) . 3 几种常见函数的导数： (1) C 0 （C 为常数）.(2) (xn ) nxn1 (n Q) .(3) (sin x) cos x .,aa,xx,(4) (cos x) sin x . (5) (ln x) 1 ； (log x) 1 log e .,(6) (ex ) ex ; (ax ) ax ln a . 4 导数的运算法则：,v2,u uv uv,(v 0) .,（1） (u v) u v .（2） (uv) uv uv .（3） ( ) v 5 复合函数的导数：,y f g(x)，由 y f (u) 和u g(x) 复合， y f g(x) f (
15、u) g(x) 。,6 导数在函数中的应用： （1） y f (x) 在区间a, b的单调性与导数： 在a, b内恒有 f (x) 0 y f (x) 递增 在a, b内恒有 f (x) 0 y f (x) 递减 在a, b内恒有 f (x) 0 y f (x) 是常数函数 y f (x) 在a, b递增 f (x) 0 y f (x) 在a, b递减 f (x) 0 判别 f (x0 ) 是极大（小）值的方法： 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时， 如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，则 f (x0 ) 是极大值； 如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0 ，右侧 f (x) 0 ，则 f (x0 ) 是极小值. 7 定积分的性质： （1）,（2）,（3）,（4）如果在区间a,b上，f(x)0,则 8微积分基本定理：,如果 f(x)是a,b上的连续函数，并且有 F(x)=f(x)，那么,b a,5,b,a, F b F a,f (x)dx F (x),y f (x),图 5-7,a b S,9 定积分的几何意义：由连续曲线 y f (x)（
