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1、直线和圆,一直线 1斜率与倾斜角： k tan ， 0, ),22,2,（1） 0,) 时， k 0 ；（2） 时， k 不存在；（3） (, ) 时， k 0,（4）当倾斜角从0 增加到90 时，斜率从0 增加到 ； 当倾斜角从90 增加到180 时，斜率从 增加到0 2直线方程 （1）点斜式： y y0 k (x x0 ) （2）斜截式： y kx b y yx x （3）两点式：1 1 y2 y1x 2 x1 xy （4）截距式： 1 ab （5）一般式： Ax By C 0 3距离公式,2121,（1）点 P1 (x1 , y1 ) ， P2 (x2 , y2 ) 之间的距离： P1P
2、2 (x x ) ( y 2, y )2,00,| Ax0 By0 C |,（2）点 P(x , y ) 到直线 Ax By C 0 的距离： d ,A2 B2,12,A2 B2,11,（3）平行线间的距离： Ax By C 0 与 Ax By C 0 的距离： d | C1 C2 |,4位置关系 截距式： y kx b 形式 重合： k1 k2b1 b2 相 交 ： k1 k2 平行： k1 k2b1 b2 垂 直 ： k1 k2 1 一般式： Ax By C 0 形式 重合： A1B2 A2 B1 且 A1C2 A2C1 且 B1C2 C1B2 平行： A1B2 A2 B1 且 A1C2
3、A2C1 且 B1C2 C1B2,垂 直 ： A1 A2 B1B2 0 相 交 ： A1B2 A2 B1 5直线系 A1 x B1 y C1（A2 x B2 y C2） 0 表示过两直线l1 : A1 x B1 y C1 0 和 l2 : A2 x B2 y C2 0 交点的所 有直线方程（不含l2 ） 二圆 1圆的方程 （1）标准形式： (x a)2 ( y b)2 R2 （ R 0 ） （2）一般式： x2 y2 Dx Ey F 0 （ D2 E2 4F 0 ）,（3）参数方程：,0,x x0 r cos,y y, ,r sin （ 是参数）,【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程
4、转化为三角函数问题去解决. （4）以 A(x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) 为直径的圆的方程是： (x xA )(x xB ) ( y yA )( y yB ) 0 2位置关系 点 P(x0 , y0 ) 和圆(x a) ( y b) R 的位置关系： 222 当(x a)2 ( y b)2 R2 时，点 P(x , y ) 在圆(x a)2 ( y b)2 R2 内部 0000 当(x a)2 ( y b)2 R2 时，点 P(x , y ) 在圆(x a)2 ( y b)2 R2 上 0000 当(x a)2 ( y b)2 R2 时，点 P(x , y ) 在圆(x a)2
5、( y b)2 R2 外 0000 直线 Ax By C 0 和圆(x a)2 ( y b)2 R2 的位置关系： 判断圆心O(a, b) 到直线 Ax By C 0 的距离d | Aa Bb C | 与半径 R 的大小关系 A2 B2 当 d R 时，直线和圆相交（有两个交点）； 当 d R 时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当 d R 时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法 几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 代数法：联立直线与圆的方程消元后利用 判断 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交,12,3圆和圆的位
6、置关系 判断圆心距d O1O2 与两圆半径之和 R1 R2 ，半径之差 R1 R2 （ R1 R2 ）的大小关系 当 d R1 R2 时，两圆相离，有 4 条公切线； 当 d R1 R2 时，两圆外切，有 3 条公切线； 当 R1 R2 d R1 R2 时，两圆相交，有 2 条公切线； 当 d R1 R2 时，两圆内切，有 1 条公切线； 当0 d R1 R2 时，两圆内含，没有公切线； 4当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减 5弦长公式： l 2 R2 d 2 例 1 若圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点，则实数 k 的取值范围是 ,解析：由题意知,2,1k2,1，解得
7、3k 3.,答 案 ：( 3， 3) 例 2 已知两圆 C ：x2 y22x10y240，C ：x2 y2 2x2y80，则两圆公共弦所在的直线方程是 12 解析：两圆相减即得 x2y40. 答案：x2y40 例 3 设直线 xmy10 与圆(x1)2(y2)24 相交于 A、B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，则实数 m 的值是 ,1m2,|12m1|3,3,解析：由题意得，圆心(1,2)到直线 xmy10 的距离 d 431，即1，解得 m.,3 答案： 3 例 4 若 a，b，c 是直角三角形 ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆 C：x2y24 被直线 l：axbyc0 所截得的弦
8、长为 ,解析：由题意可知圆 C：x2y24 被直线 l：axbyc0 所截得的弦长为 2,a2b2, c222 4 ，由于 a b ,c2，所以所求弦长为 2 3. 答案：2 3,13,例 5 已知M：x2(y2)21，Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切M 于 A，B 两点,4 2,(1)若|AB| 3 ，求|MQ|及直线 MQ 的方程； (2)求证：直线 AB 恒过定点,2 2,AM|1，APMQ，AMAQ，得|MP|,2,81,93,1 ，,解：(1)设直线 MQ 交 AB 于点 P，则|AP| 3 ，又| |MA|2 又|MQ| |MP| ，|MQ|3.,设 Q(x,0)，而点
9、M(0,2)，由 x2223，得 x 5， 则 Q 点的坐标为( 5，0)或( 5，0) 从而直线 MQ 的方程为 2x 5y2 50 或 2x 5y2 50. (2)证明：设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A，B 两点在以 QM 为直径的圆上，此圆的方程为 x(xq)y(y2),2,0，而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得 AB 的方程为 qx2y30，所以直线 AB 恒过定点0，3.,例 6 过点(1，2)的直线 l 被圆 x2y22x2y10 截得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为 2 解析：将圆的方程化成标准方程为(x1)2(y1)21，其圆心为(1,1)，半径 r1.由
10、弦长为 2得弦心距为. 2,|2k3| 设直线方程为 y2k(x1)，即 kxyk20，则,k21,27,217 ，化简得 7k224k170，得 k1 或 k.,17 答案：1 或 7 例 7 圆 x22xy230 的圆心到直线 x 3y30 的距离为 ,解析：圆心(1,0)，d,|13|,13,1.,答案：1 例 8 圆心在原点且与直线 xy20 相切的圆的方程为 解析：设圆的方程为 x2y2a2(a0),|2|,11,a，a 2，,14,x2y22. 答 案：x2y22 例 9 已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为 圆 C 的方程为 x2
11、y2DxF0，,则,265DF0，,10DF0，,解得,D4，,F6.,圆 C 的方程为 x2y24x60. 答案 (1)C (2)x2y24x60,例 10 (1)与曲线 C：x2y22x2y0 相内切，同时又与直线 l：y2x 相切的半径最小的圆的半径是 (2)已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21 则 2xy 的最大值为 ，最小值为 解析：(1)依题意，曲线 C 表示的是以点 C(1，1)为圆心， 2为半径的圆，圆心 C(1，1)到直线 y2x,2,2,|112|2 2 23 2,即 xy20 的距离等于2 2，易知所求圆的半径等于 2 .,(2)令 b2xy，则 b 为直线 2x
12、yb 在 y 轴上的截距的相反数，当直线 2xyb 与圆相切时，b 取得最值由,|221b|,5,1.解得 b5 5，所以 2xy 的最大值为 5 5，最小值为 5 5.,3 2 答 案 ：(1) 2 (2)5 5 5 5,y2,例 11 已知 x，y 满足 x2y21，则的最小值为 x1,y2,x1,y2,x1,解析：表示圆上的点 P(x，y)与点 Q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线 PQ 与圆相切时的斜率设,直线 PQ 的方程为 y2k(x1)即 kxy2k0.由,k21,|2k|3,4,y23,x14,1 得 k ，结合图形可知， ，故最小值,3,4,为 .,3,4,答案：,例
13、12 已知两点 A(2,0)，B(0,2)，点 C 是圆 x2y22x0 上任意一点，则ABC 面积的最小值是 ,解析：lAB：xy20，圆心(1,0)到 l 的距离 d,3,2,，,3,则 AB 边上的高的最小值为1. 2,1,2,故ABC 面积的最小值是 2 2,2,1 3,3 2.,答案：3 2 例 13 平面直角坐标系 xoy 中，直线 x y 1 0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 6 求圆 O 的方程； 若直线l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 D，E，当 DE 长最小时，求直线l 的方程； 设 M，P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线
14、 MP、NP 分别交于 x 轴于点（m，） 和（n，），问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 解： 因为O 点到直线 x y 1 0 的距离为 1 ， 2 所以圆O 的半径为 ( 1 )2 ( 6 )2 2 ， 22 故圆O 的方程为 x2 y2 2 设直线l 的方程为 x y 1(a 0,b 0) ，即bx ay ab 0 ， ab,15,由直线l 与圆O 相切，得,ab,a2 b2,2,a2b2, 2 ， 即 1 1 1 ，,DE2 a2 b2 2(a2 b2 )( 1 1 ) 8 ，,a2b2 当且仅当a b 2 时取等号，此时直线l 的方程为 x y 2 0 ,
15、设 M (x , y ) ， P(x , y ) ，则 N (x , y ) ， x 2 y 2 2 ， x 2 y 2 2 ， 1 122111122 直线 MP 与 x 轴交点( x1 y2 x2 y1 , 0) ， m x1 y2 x2 y1 ， y2 y1y2 y1 直线 NP 与 x 轴交点( x1 y2 x2 y1 , 0) ， n x1 y2 x2 y1 ， y2 y1y2 y1,21,21,21,21,x y x y x y x yx 2 y 2 x 2 y 2(2 y2 ) y 2 (2 y 2 ) y 2,y y,y y,y 2 y2,y 2 y2,mn 1 22 1 1 22 1 1 22 1 1221 2 ，,故mn 为定值 2 例 14 圆 x2+y2=8 内一点 P（1，2），过点 P 的直线 l 的倾斜角为 ，直线 l 交圆于 A、B 两点. （1）当 = 3 时,求 AB 的长； 4 （2）当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程.,解:（1）当 = 3 时，kAB=1，,4 直线 AB 的方程为 y2=（x+1），即 xy1=0.,2,故圆心（0，0）到AB 的距离 d= 0 0 1 =,2 ， 2,2,从而弦长|A
