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1、最新考纲1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发 点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判 定定理,并能够证明相关性质定理;2.能运用线面平行、面 面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简 单命题,第3讲直线、平面平行的判定与性质,1直线与平面平行的判定与性质,知 识 梳 理,a,b,,a,a,,ab,b,2.面面平行的判定与性质,a,b,,, a,b,abP, a,b,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线(
2、 ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行( ) (4)若,直线a,则a.( ),诊 断 自 测,2若直线m平面,则条件甲:“直线l”是条件乙:“lm”的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案D,3已知m,n表示两条不同直线,表示平面下列说法正确的是 () A若m,n,则mn B若m,n,则mn C若m,mn,则n D若m,mn,则n 解析若m,n,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m,mn,则n或n,故C错误;若m,mn,则n与可能平行、相交或n,故D错误因此选B. 答案B,4过三棱柱ABCA1B
3、1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条 解析各中点连线如图,只有面EFGH与面ABB1A1平行,在四边形EFGH中有6条符合题意 答案6,5(人教A必修2P56练习2改编)如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为_ 解析连接BD,设BDACO,连接EO,在BDD1中,O为BD的中点,所以EO为BDD1的中位线,则BD1EO,而BD1平面ACE,EO平面ACE,所以BD1平面ACE. 答案平行,考点一有关线面、面面平行的命题真假判断 【例1】 (1)(2013广东卷)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列
4、命题中正确的是 () A若,m,n,则mn B若,m,n,则mn C若mn,m,n,则 D若m,mn,n,则,(2)设m,n表示不同直线,表示不同平面,则下列结论中正确的是 () A若m,mn,则n B若m,n,m,n,则 C若,m,mn,则n D若,m,nm,n,则n 解析(1)A中,m与n可垂直、可异面、可平行;B中m与n可平行、可异面;C中,若,仍然满足mn,m,n,故C错误;故D正确,(2)A错误,n有可能在平面内;B错误,平面有可能与平面相交;C错误,n也有可能在平面内;D正确,易知m或m,若m,又nm,n,n,若m,过m作平面交平面于直线l,则ml,又nm,nl,又n,l,n. 答
5、案(1)D(2)D 规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来解题,【训练1】 (1)(2014长沙模拟)若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位置关系是 () Ab Bb Cb或b Db与相交或b或b (2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面,的三个命题: 若l与m为异面直线,l,m,则; 若,l,m,则lm; 若l,m,n,l,则mn. 其中真命题的个数为 () A3 B2 C1 D0,解析(1)可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b与相交或b或b时,均满足直线ab,且直线a平面的情况,故选D. (2)中,当与相交
6、时,也能存在符合题意的l,m;中,l与m也可能异面;中,l,l,mlm,同理ln,则mn,正确 答案(1)D(2)C,考点二直线与平面平行的判定与性质 【例2】 如图,几何体EABCD是四棱 锥,ABD为正三角形,CBCD, ECBD. (1)求证:BEDE; (2)若BCD120,M为线段AE的 中点,求证:DM平面BEC.,证明(1)如图,取BD的中点O, 连接CO,EO. 由于CBCD,所以COBD. 又ECBD,ECCOC, CO,EC平面EOC, 所以BD平面EOC,,又EO平面EOC,因此BDEO. 又O为BD的中点,所以BEDE. (2)法一如图,取AB的中点N,连 接DM,DN
7、,MN. 因为M是AE的中点, 所以MNBE. 又MN平面BEC, BE平面BEC, 所以MN平面BEC. 又因为ABD为正三角形,所以BDN30. 又CBCD,BCD120,因此CBD30.,所以DNBC. 又DN平面BEC,BC平面BEC, 所以DN平面BEC.又MNDNN, 所以平面DMN平面BEC. 又DM平面DMN,所以DM平面BEC 法二如图,延长AD,BC交于点F, 连接EF. 因为CBCD,BCD120, 所以CBD30. 因为ABD为正三角形, 所以BADABD60,,ABC90, 又ABAD,所以D为线段AF的中点 连接DM,由于点M是线段AE的中点, 因此DMEF. 又D
8、M平面BEC,EF平面BEC, 所以DM平面BEC.,规律方法判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义,一般用反证法;(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba),其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言的叙述;(3)利用面面平行的性质定理(,aa);(4)利用面面平行的性质(,a,aa),(1)证明:MN平面AACC; (2)求三棱锥AMNC的体积 (1)证明法一连接AB,AC,如图,由已知BAC90,ABAC,三棱柱ABCABC为直三棱柱, 所以M为AB中点 又因为N为BC的中点,所以MNAC. 又MN平面AACC,AC平面AACC, 因此MN
9、平面AACC.,法二取AB的中点P,连接MP,NP,AB,如图,而M,N分别为AB与BC的中点, 所以MPAA,PNAC, 所以MP平面AACC,PN平面AACC. 又MPNPP,因此平面MPN平面AACC. 而MN平面MPN,因此MN平面AACC.,(2)解法一连接BN,如上图,由题意ANBC,平面ABC平面BBCCBC,AN平面ABC,,考点三平面与平面平行的判定与性质 (1)证明:平面A1BD平面CD1B1; (2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积 (1)证明由题设知,BB1綉DD1, 四边形BB1D1D是平行四边形,BDB1D1. 又BD平面CD1B1,B1D1平面CD1B1, BD平
10、面CD1B1.,A1D1綉B1C1綉BC, 四边形A1BCD1是平行四边形,A1BD1C. 又A1B平面CD1B1, A1B平面CD1B1. 又BDA1BB, 平面A1BD平面CD1B1. (2)解A1O平面ABCD, A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高,规律方法证明两个平面平行的方法有:(1)用定义,此类题目常用反证法来完成证明;(2)用判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明;(4)借助“传递性”来完成:两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、
11、“面面平行”的相互转化,【训练3】 如图,在三棱柱ABCA1B1C1 中,E,F,G,H分别是AB,AC, A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1平面BCHG. 证明(1)GH是A1B1C1的中位线,GHB1C1,又B1C1BC, GHBC,B,C,H,G四点共面 (2)在ABC中,E,F分别为AB,AC的中点, EFBC,EF平面BCHG,BC平面BCHG, EF平面BCHG.,又G,E分别为A1B1,AB的中点, A1G綉EB, 四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB. A1E平面BCHG,GB平面BCHG, A1E平面BCHG.又A1EEF
12、E, 平面EFA1平面BCHG.,考点四平行关系中的探索性问题 【例4】 (2014四川卷)在如图所示的多 面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都 为矩形 (1)若ACBC,证明:直线BC平 面ACC1A1; (2)设D,E分别是线段BC,CC1的中 点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论,(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形, 所以AA1AB,AA1AC. 因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线, 所以AA1平面ABC. 因为直线BC平面ABC, 所以AA1BC. 又ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线, 所以BC平面
13、ACC1A1. (2)解取线段AB的中点M, 连接A1M,MC,A1C,AC1,OM,设O为A1C,AC1的交点,由已知可知O为AC1的中点 连接MD,OE,则MD,OE分别为 ABC,ACC1的中位线 从而四边形MDEO为平行四边形, 则DEMO. 因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC, 所以直线DE平面A1MC,,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点), 使直线DE平面A1MC. 规律方法解决探究性问题一般先假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了使结论成立的充分条件,则存在;如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾),则不存在而对于探求点的问题
14、,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明,【训练4】 如图,在四棱锥PABCD中, PD平面ABCD,底面ABCD为矩形, PDDC4,AD2,E为PC的中点 (1)求三棱锥APDE的体积; (2)AC边上是否存在一点M,使得 PA平面EDM?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由 解(1)因为PD平面ABCD,所以PDAD. 又因为ABCD是矩形,所以ADCD. 因为PDCDD,所以AD平面PCD,,所以AD是三棱锥APDE的高 因为E为PC的中点,且PDDC4, (2)取AC中点M,连接EM,DM, 因为E为PC的中点,M是AC的中点, 所以EMPA
15、.,又因为EM平面EDM,PA平面EDM,所以PA平面EDM.,思想方法 1对线面平行,面面平行的认识一般按照“定义判定定理性质定理应用”的顺序其中定义中的条件和结论是相互充要的,它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法,又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用 2在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,其转化关系为,在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化” 易错防范 1在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误 2线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加,在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据,绝不能主观臆断 3解题时注意符号语言的规范应用.,