《勾股定理的证明的方法（2020年10月整理）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理的证明的方法（2020年10月整理）.pptx（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,【证法 1】（课本的证明）,做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为c，再做三 个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即,， 整理得,a 2 b2 4 1 ab c 2 4 1 ab 22a 2 b2 c 2 .,【证法 2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 1 ab 等于 2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上， B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条
2、直线上., RtHAE R tEBF,C,F,A,H,E,B,b,c,a,DbGa,c,a,b,c,a,b,c,b,1,a,b,a,b,a,b,c,b,c,b,a,c,b,a,c,b,a,c,aba,a,c,b,a,a,b,a,b,c,c,A,B,C,D,E, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 9
3、0+ 90= 180. ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于a b2 .,a b2 4 1 ab c 2,2 a 2 b2 c 2 ., .,【证法 3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（ba），以 c 为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角 1 ab,三角形的面积等于 2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90，, ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH 是一个边长为ba
4、的正方形，它的面积等于 b a2 .,4 1 ab b a2 c2 2. a 2 b2 c 2 .,【证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明） 以a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 1 ab 等于 2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上., RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形， 1 c 2 它的面积等于 2.又 DAE = 90, EBC = 90,a,c,D,
5、A,C,B,b GF,HE,2,P,H,F,E,D,C,B,A,a,b,c,a,b,c,a,b,c,a,b,c,c,c,c,ba,c,b,a,A,B,C,E,F,P,Q,M,N, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2,1 a b2,.,22,1 a b2 2 1 ab 1 c 2,a 2 b2 c 2, 2.,【证法 5】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. 再 做一个边长c 的正方形. 把它们拼成如图所示多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上.,过点Q 作 QPBC，交 AC 于点P. 过点B 作BMPQ，垂足
6、为M；再过点 F 作FNPQ，垂足为N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90，,ABC + MBA = MBC = 90 QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF 【证法 6】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长 分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的 一个多边形，使D、E、F 在一条直线上. 过C 作 AC G,的延长线交
7、 DF 于点P. D、E、F 在一条直线上, RtGEF RtEBD, EGF = BED，, EGF + GEF = 90 BED + GEF = 90，, BEG =18090= 90. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD., EBD + CBE = 90. 即CBD= 90. 又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.,a 2 b2 S 2 1 ab, 2
8、,c 2 S 2 1 ab 2,3,设多边形GHCBE 的面积为S，则 a 2 b2 c 2 . 【证法 7】（欧几里得证明）,做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B 三点在,一条直线上，连结 BF、CD. 过C 作CLDE， 交 AB 于点M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， 1 a 2 FAB 的面积等于 2， GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 矩形ADLM 的面积 = a 2 . 同理可证，矩形MLEB 的面积 = b 2 . 正方形ADEB 的面积,= 矩形ADLM 的面积
9、+ 矩形MLEB 的面积 c 2 a 2 b2 ，即 a 2 b2 c 2 . 【证法 8】（李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为 c. 做三个边长分别为 a、b、c 的正方 形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）., TBE = ABH = 90， TBH = ABE. 又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 GHF + BHT = 90， DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GH
10、F = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90，, RtHGF RtBDC. 即,S7 S 2 .,过 Q 作QMAG，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90，,c2 S S S S S ， a2 S S ， b2 S S S ， 1234516378,c,b,a,c,b,a,A,B,C,E,F,G,H,M,DL,K,H,4,可知 ABE= QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAQM . 又 RtHBT RtABE. 所以 RtHBT RtQAM . 即 S8 S5 . 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM
11、 = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR. 又QMF = ARC = 90，QM = AR = a RtQMF RtARC 即S 4 S6 .,R,T,G,F,D,A,c,bB,a,8,7,6,E 5,4,3 M,2 C,1,又,S7 S 2 ， S8 S5 ， S 4 S6 ，, a2 b2 S S S S S = S S S S S = 2 1637814325 c ， 即 a 2 b2 c 2 . 【证法 9】（辛卜松证明）,设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为 c. 作边长是a+b 的正方形ABCD
12、.把正方 形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 a b2 a2 b2 2ab ； 把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，,则正方形ABCD 的面积为,a b2 4 1 ab c2 2= 2ab c2 ., a 2 b2 2ab 2ab c2 , a 2 b2 c 2 . 【证法 10】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba），斜边长为 c. 再 做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作 AFAC，AF 交 GT 于F，AF 交 DT 于R. 过B 作 BPAF，垂足为 P. 过D 作
13、 DE 与 CB 的延长线垂,直，垂足为E，DE 交 AF 于H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. 又 DHA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA .,1 ab 2,ab,1 2,1 ab 2,AD,b,a,b,a,a,
14、b,BbaCBabC,1 ab a 2c,b,A baDb,c,c,c c2,a,9,5,7,6,45,3,2,1,Q,T,8 RHP,F,C,EB,A,a,b,c,GaD,b,c,c,c,又 DGT = 90，DHF = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）. 用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为,c2 S S S S S 12345,2,
15、834,=, S S S 1 b b a a b ab2 1 ab 2,，,S5 S8 S9 ，,34,2,S S b2 1 ab S,2,= b S1 S8 8,.,把代入，得 c2 S S b2 S S S S 121889,b2 S S 29,=,b2 a 2 ., a 2 b2 c 2 . 【证法 11】（陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为 c. 做两个边长分别为a、 b 的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M 三点在一条直线上. 用数 字表示面积的编号（如图）.,在EH = b 上截取ED = a，连结 DA、DC， 则 AD = c. EM =
