《2016高中数学探究导学课型第二章平面向量2.5平面向量应用举例课件新人教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高中数学探究导学课型第二章平面向量2.5平面向量应用举例课件新人教版必修4（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5 平面向量应用举例,【自主预习】 主题1:平面几何中的向量方法 1.要判断ABCD.从向量的角度如何证明? 提示:证明 即 =0即可.,2.你能总结出教材中例1解决问题的步骤吗? 提示:分三步:第一步,用向量的模表示平行四边形对角线的长与两条邻边的长度; 第二步:利用向量的模与数量积的关系,寻找平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系; 第三步,根据向量模的关系,得到平行四边形的对角线的长度和两条邻边长度的关系.,总结以上探究过程,试着写出用向量方法解决平面几何 问题的“三步曲” (1)_ _. (2)_ _. (3)_.,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉,及的几何元素
2、,将平面几何问题转化为向量问题,通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、,夹角等问题,把运算结果“翻译”成几何关系,主题2:向量在物理中的应用 【自主认知】 1.物理中力的合成与分解体现了向量的哪种运算? 提示:物理中的力可以看成向量,力的合成与分解体现了向量的加法运算与减法运算.,2.向量方法解决物理问题的步骤是什么? 提示:(1)把物理问题转化为数学问题. (2)建立以向量为主的数学模型. (3)求出数学模型的解. (4)根据数学模型中的解,解释相关的物理现象.,总结以上探究过程,试写出向量在物理学中的应用: 1.由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分 解与合成与向量的减法和
3、加法相似,可以用向量的知识 来解决. 2.物理学中的功是一个标量,即为力F与位移s的数量积. 即W=Fs=_(为F与s的夹角).,|F|s|cos,【深度思考】 结合教材P110例2你认为用向量方法解决平面几何问题 应分哪几步? 第一步:_ _; 第二步:_; 第三步:_.,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题,中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题,通过向量运算,研究几何元素之间的关系,把运算结果“翻译”成几何关系,【预习小测】 1.在ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的 中线AD的长是() 【解析】选B.BC中点为 所以 所以,2.已知A,B,C
4、,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3), (2,4),(0,2),则此四边形为() A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形,【解析】选A. 所以 共线,但 故此四边形为梯形.,3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则ABC的形状为. 【解析】因为 =(2-1,3-2)=(1,1), =(-2-1,5-2)=(-3,3), 所以 =1(-3)+13=0,所以 且 所以ABC是直角三角形. 答案:直角三角形.,4.若向量 分别表示两个力F1,F2, 则 =. 【解析】因为 所以F1+F2= =(0,5),所以 =5. 答案:5,5.一物体受到相互垂直的两个力f1,f2的作用,两力大小
5、 都为5 N,则两个力的合力的大小为. 【解析】根据向量加法的平行四边形法则,合力f的大小 为 答案: N,【备选训练】如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为多少?(仿照教材P109例1的解析过程),【解析】设 而 所以5-2ab=4,所以ab= ,又| |2=|a+b|2 =a2+2ab+b2=1+4+2ab=6,所以 即AC= .,【互动探究】 1.若向量 则一定有ABCD吗? 提示:不一定.若向量 则AB与CD共线或ABCD.,2.求夹角问题常用向量的夹角公式,向量 的夹角 与直线AB,CD的夹角相等吗? 提示:不一定,直线AB,CD的夹角
6、范围是 当 的夹角是锐角或直角时,即为直线AB与CD的夹角,否则 是直线AB与CD的夹角的补角.,3.向量数量积运算的物理背景是什么? 提示:向量数量积运算的物理背景是力做功的计算. 4.用平面向量可解决物理中的哪些问题?试举例说明. 提示:(1)与力有关的问题.(2)与速度有关的问题.,【探究总结】 知识归纳:,方法总结:向量法解决几何问题的两个方向 (1)几何法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.,【题型探
7、究】 类型一:向量在几何中的应用 【典例1】(1)已知ABC中,A=60,BC=a,AC=b, AB=c,AP是BC边上的中线,则AP的长为(),(2)如图,已知RtOAB中,AOB=90,OA=3,OB=2,M在 OB上,且OM=1,N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,求AP.,【解题指南】(1) 的夹角是60.根据平行四边 形法则和两个向量共线的条件,可以用 表示向量 . (2)设出 的关系,把 分别用 和 表示出来.求出参数,然后表示出 , 再求| |即可.,【解析】(1)选B.因为AP是BC边上的中线, 所以向量 所以 即AP的长为,(2)设 则 设 因为,所以 所以 所以,
8、【延伸探究】 1.本题例(2)条件不变,求MPN.,【解析】设 的夹角为,则 又因为 所以 所以cos=,又因为0,所以= 因为MPN即为向量 的夹角,所以MPN= .,2.本题例(2)条件变为“等腰RtOAB中,OA=OB=2,D是BO的中点,E是AB上的点,且AE=2BE”,求证ADOE.,【证明】如图,以O为坐标原点,以OA,OB所在的直线为x轴,y轴建立坐标系,则A(2,0), 因为AO=BO,所以B(0,2). 因为D是BO的中点,所以D(0,1). 所以 =(0,2)-(2,0)=(-2,2).,【规律总结】 1.利用向量解决几何问题的常用思路及平行四边形的证明方法 (1)常用思路
9、:把已知问题转化为向量的形式,再通过相应的向量运算去完成,同时,引入平面向量的坐标可以使向量的运算代数化,让平面向量的坐标成为数与形的载体.,(2)向量法证明四边形是平行四边形的方法:一般是先选取一组基底,用基底表示出该四边形的一组对边,再证明该组对边所对应的向量相等或相反即可.,2.利用向量解决几何问题的步骤及常见问题 (1)向量法的步骤:转化、运算、翻译. (2)向量法的思想:以“算”代“证”. (3)常见问题:线段或直线的平行问题;线段或直线的垂直问题;线段的长度及夹角问题.,【拓展延伸】几个常用结论 (1)四边形ABCD中,若 则四边形ABCD为平行四 边形. (2)平行四边形ABCD
10、中,若 则四边形ABCD为菱形. (3)平行四边形ABCD中,若 =0,则四边形ABCD为菱 形.,(4)平行四边形ABCD中,若 则四边形ABCD为矩 形. (5)平行四边形ABCD中,若 则四边形ABCD为正方形.,【补偿训练】1.已知|a|=2 ,|b|=2,向量a,b的夹角 为30,则以向量a,b为邻边的平行四边形的一条对角 线的长度为() A.10B.C.2D.22,【解析】选C.以向量a,b为邻边的平行四边形两条对角 线的长分别为|a+b|和|a-b|,因为|a|=2 ,|b|=2且a,b 夹角为30,所以ab=|a|b|cos30=2 2 =6. 所以|a-b|2=|a|2-2a
11、b+|b|2=(2 )2-26+22=4, 故|a-b|=2,|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=(2 )2+26+22=28, 所以|a+b|=2 .,2.已知O为ABC所在平面内一点,且满足 求证:,【证明】设 则 由题设: 化简得:a2+(c-b)2=b2+(a-c)2,得:cb=ac, 从而 =(b-a)c=bc-ac=0,所以,类型二:向量在物理中的应用 【典例2】已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0). (1)求F1,F2分别对质点所做的功. (2)求F1,F2的合力F对质点所做的功.,【解题指南】物体在力F
12、作用下的位移为s, 则W=Fs=|F|s|cos,其中为F与s的夹角.,【解析】(1) =(7,0)-(20,15)=(-13,-15), W1=F1 =(3,4)(-13,-15) =3(-13)+4(-15)=-99(J), W2=F2 =(6,-5)(-13,-15) =6(-13)+(-5)(-15)=-3(J). 所以力F1,F2对质点所做的功分别为-99J和-3 J.,(2)W=F =(F1+F2) =(3,4)+(6,-5)(-13,-15)=(9,-1)(-13,-15) =9(-13)+(-1)(-15)=-117+15=-102(J). 所以合力F对质点所做的功为-102J
13、.,【规律总结】利用向量解决物理问题的思路及注意问题 (1)向量在物理中的应用,实际上是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后用所获得的结果解释物理现象. (2)在用向量法解决物理问题时,应作出相应图形,以帮助建立数学模型,分析解题思路.,(3)注意问题:如何把物理问题转化为数学问题,也就是将物理之间的关系抽象成数学模型;如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.,【巩固训练】一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成120角,且F1,F2的大小分别为1和2,求F1与F3所成的角. 【解题指南】先根据三个力的合力
14、F1+F2+F3=0,然后计算F3的大小,最后求角.,【解析】由题意知F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2). 如图, 在平行四边形OACB中,| |=1, | |=2,OAC=60, 所以 =12-212cos60+22=3,所以,因为OA2+OC2=AC2, 所以AOC=90,即 所以F1F3, 即F1与F3所成的角为90.,拓展类型:向量在解析几何中的应用 【典例】(1)在直角坐标系xOy中,设 =(-t,-2), =(-3,t),则线段BC中点M(x,y)的轨迹方程是 . (2)过点P(6, )的直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点, 若 求直线l的方程.,【解析】(1)由题意知: =(-t,-2), =(-3,t), 则B(-t,-2),C(-3,t).由中点坐标公式知2x=-t-3,2y= -2+t,消t得线段BC中点M(x,y)的轨迹方程为2x+2y+5=0. 答案:2x+2y+5=0,(2)设A(a,0),B(0,b),则 所以直线l的方程为,【规律总结】向量法解决解析几何问题的关键点及常用知识 (1)关键点: 向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标,然后进行向量的运算.,(2)常用知识: 相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到,必须熟练掌握.,
