(郭熙汉)高中数学新课程中的数学史知识点评ppt课件

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1、高中数学新课程中数学史知识点评,华中师范大学 郭熙汉 ,一、引言,二关于教学目的的点评：传授知识与发展能力,三关于教学原则的点评：具体与抽象相结合,四、关于教学方法的点评：情境、形态与形式化,五、关于思维方法的点评：返朴归真,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,一、引言,米山国藏在其著作数学的精神、思想和方法中，对他自己所教过的学生作如此评价： 他们离开学校之后，如果没有机会应用，不到两年时间就会把所学的数学知识几乎全部忘掉。 不管他们从事什么业务工作，惟有深深地铭刻于脑际的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法以及着眼点，却随时随地发生作用，并使他

2、们终生受益。 这样的教育，才是最高最好的教育。 关于教育和教学的问题，历来都是人们倍加关注的。,Conte，Auguste （17981857）,由于个体知识的发生与历史上人类知识的发生是一致的，因而对孩子的教育必须是符合历史规律的教育。 法 孔德,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,科学的教学方法是用知识诱导人去做科学的思考，而不是一开头就叫人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统 德 克莱因,Klein,Felix （1849 1925）,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最

3、高、最好的教育”。,教育工作者的任务就是，让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段但不是跳过任何阶段。鉴于此，科学史应该是我们的指南。 法 庞加莱,Poincare， Heri （1854 1912）,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,鉴于以上大家们的观点，我们来探讨如何在数学教育中发挥数学史的指南作用。 数学史，是一门独立的学科。它以数学学科产生、发展的历史作为研究对象，阐明其历史进程，揭示其一般规律，它是科学的一个分支，又是历史学的一个分支。 数学教育，是一项有目的、有计划、有组织的社会实践活动。它以传授数学学科知识和培养数学学科人才为宗旨，以

4、促进社会进步，促进科学与技术的发展为目标，它是整个社会教育的一部分。,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,数学教育学的理论和数学史的知识共同显示：学生学习和掌握数学知识的过程，与数学学科自身产生和发展的过程，是非常一致的。前者是后者快速、集中的再现。从数学教育的教学目的、教学原则、教学方法和思维方法四个方面都能体现：数学教学应该遵循数学发展的规律。 我们不妨用简单的数学史料和现实来说明，运用数学史的资料和研究成果于数学教学之中，可以使这样的数学教学方法成为 “科学的教学方法”，使这样的数学教育成为 “最高、最好的教育”。,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助

5、数学教育成为“最高、最好的教育”。,所谓知识，广义地理解为人类在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和。在教学中向学生传授的知识属于其中之一，学生接授这些知识有一个形成认知能力和识别能力的过程：由不知到知，由知少到知多，由知其然到知其所以然。 通过直接引用原始的、生动的、体现知识系统产生、发展过程的科学史的史料，把学生带到发现、创立这些知识的过程之中，从而为优化上述形成认知能力和识别能力的过程创造有益的外部条件。,二关于教学目的的点评：传授知识与发展能力,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,例1 关于欧拉公式 若P为满足下列条件的多面体： (a) P的任何

6、两个顶点可以用一串棱相连； (b) P上任何由直线段（不一定是P的棱）构成的圈，使P分成两片。 则对于P 有 ve+f = 2， 其中v顶点数，e棱数，f面数。,Leonard Euler （17071783）,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,证明提要： 由(a)，P的全体顶点与棱构成一个图。不难证在任何图中可以找到含有全体顶点的树形子图。可选择一个树形 T，使它包含P 某些棱，以及 P 的全体顶点。 构作T的一种对偶 ：对于P 的每个面 A 上给出 的一个顶点； 的两个顶点，有一条棱相连，当且仅当它们相应的面 A，E在 P 内有一条不属于T 的棱公共。

7、 是连通的。否则， 的某两个顶点不能用 的一串棱相连，而必然被T 内的一个圈分开。由 T 不含任何圈，故 必连通。 是树。否则， 内有圈,则按 (b)，这个圈把 P 分成两片,每一片含有 T 至少一个顶点，任何欲把T的分属两片的 两个顶点相连的一串棱，必遇隔离圈，因此这一串棱不能全在 T 内，与T 连通矛盾。 由于 v(T) - e(T)=1 ， v( ) - e() =1，可得 v(T) - e(T) + e() + v() =2，而 v(T) = v，e(T) + e() = e，v() = f， 所以 v - e + f = 2 得证。,上述证明有两点得意之处： 其一，比大多数对 P 的

8、面数用归纳法精致； 其二，给出了比 Euler 公式更多的知识，稍进一步，可证 P 是由两个盘沿它们的边界粘合而成，这是 P 的一个重要的拓扑性质。 然而，学生反应如何？我们相信，学生面对着这个 “冷漠的、经过科学洗练的” 证明，而努力去联想凸多面体的形象，接受这个定理可能不存在太大的问题。,然而，学生往往会因 (a)、(b) 两个条件而踌躇不前，也就是说，完全接受这个定理还不能一次性到位。而数学史告诉我们，学生的踌躇也不是没有道理的。,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,Euler公式开始并没有(a)、(b)两个条件， 1750年，Euler在给Goldb

9、ach写的一封信中提出 v e + f = 2 时，对多面体没有任何限制；,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,1847年，von Staudt 最后给出上述定理的表述与证明。,1813年，LHuilier 发现 ve +f = 4 以及 ve +f = 0 的情形；,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,所谓能力，一般地理解为人们对某项任务胜任与否的主观条件。教学中所要发展的学生的能力，其表现形式为：对所学知识能融会贯通，举一反三，运用自如。 遵循知识的演绎逻辑，指导学生反复训练，以期熟能生巧，从已有知识演绎出新知识固然有

10、效。科学史中更多，更引人入胜的是，由诸多平凡之见归纳出超越平凡的新知识。 上述欧拉公式 (a)、(b) 两个条件的产生就是很好的例证，我们看到上述证明是严格的演绎证明，而历史事实中却是生动的归纳探索。归纳的对象也许只是一些特例，但是其中的 “ 思维方法、研究方法、推理方法以及着眼点 ” 却无拘无束，正是在这无拘无束之中产生新知识的生长点。当然，我们并不是要引导学生去重复历史的曲折过程，而是借鉴历史启发学生的思维，从而调动学生的学习能动性，以发展学生的能力。 无论是传授知识，还是发展能力，数学教学都应该遵循数学知识系统产生、发展的历史进程和一般规律。可见，在实现教学目的方面，数学史能为数学教学提

11、供裨益。,例2 关于一元二次方程的求根公式,1直接开方法：,2配方法：,3公式法：,现在的初中数学教科书 ：,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,历史： 巴比伦泥板中的基本问题： 1求一个数使它与它的倒数之和等于一个已知数。,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,2“已知两个数之和与两个数之积，求此两数。”,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,人们推测巴比伦人发现上述问题的解法非常简单：,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,关于一元二次方程的求解 原本第

12、 2 卷 命题 11：“分已知线段为两部分，使它和一部分所成矩形等于另一部分上的正方形。” 设 AB = a，AH = x，应有 a(a - x) = x x +ax- a=0,作正方形 ABCD 取AE=ED 延长EA，使EF=EB 作正方形AFGH AH 为所求。,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,Euclid B.C330B.C275,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,原本,求解方程 x + 10 x = 39 的正根,几何示意：,解法步骤：,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。

13、,al Khowarizmi （780850）,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,数学的抽象性，给数学教育带来不少困难：其一，由于概念抽象而枯躁，难以引起学生的兴趣；其二，由于方法抽象而适应性广，难于掌握其本质。 数学教育中贯彻“具体与抽象相结合”的原则时，教师往往大量列举实例，让学生从中领悟出那些抽象知识的内容，如此之举无可厚非。不过，不能仅在概念的外延上徘徊，更应该在深入地揭示概念的内涵上下工夫。 抽象的概念，或者出于来自实践的具体对象，或者以经过抽象的相对具体的问题为依托。这些具体对象的被认识，这些相对具体的问题被解决，推进了概念的逐级抽象。 数学史

14、往往就是这样显示出科学概念内涵的凝聚和形成。,三关于教学原则的点评：具体与抽象相结合,例3 中国古代关于球体积的计算公式与祖暅原理。,V1：V2 = 4： V2：V = 4： 取 3 则,实测：公元前后,改进：公元3世纪,V3：V = 4：,刘徽 （3世纪）,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异。,推导：公元6世纪,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,例4 关于抽象概念无穷远点 现代数学中，对无穷远点的抽象定义有许多方法

15、，诸如仿射几何的定义，双曲几何的定义以及拓扑学的定义等等。毫不夸张地讲，每一种定义都不容易理解。不妨看以下定义： ( x a ) + ( y b ) = r ( x1 - ax3 ) + ( x2 - bx3 ) = ( r x3 ) x = x1 / x3 y = x2 / x3 圆上的无穷远点为 x1 2 + x2 2 = 0，x3 = 0 ，其坐标为 ( 1，i，0 ) 、( 1，-i，0 ) 或正比于它们的三个数。 对于这样抽象概念的教学，实在是难以举出比它本身更具体的实例。让我们回到历史事实中去吧。,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,概念的缘起

16、15世纪，在欧洲文艺复兴时期，意大利数学家阿尔贝蒂（Alberti，Leone Battista 1404 1472）在其著作论绘画（Della Pittura 1435）中，给出了所谓“透视法”的基本原理，提出“投射”、“截影”。,一个严重的问题出现了：景物的线条 AB与 CD是平行线，而截影对应的线条 AB与CD是要相交的。为了寻找它们的交点在 AB与 CD上相应的原像，成为无穷远点概念的缘起。,运用数学史的资料和研究成果，可以帮助数学教育成为“最高、最好的教育”。,概念的引入 1639年，笛沙格（Desargures，Gerard 1593 1662）的论锥面截一平面所得结果的初稿在巴黎正式出版，其中论述了射影法，