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1、不等式不等式是数学 的 点之一。 由于不等式的 明 度大， 灵活性 ，要求很高的技巧，常常使它成 各 数学 中的“高档” 。而且，不 是几何、数 、函数或 合数学中的 多 ，都可能与不等式有关， 就使得不等式的 （特 是有关不等式的 明）在数学 中 得尤 重要。 明不等式同大多数高 度的数学 一 ，没有固定的模式， 法因 而异， 灵活多 ，技巧性 。 但它也有一些基本的常用方法，要熟 掌握不等式的 明技巧，必 从学 些基本的常用方法开始。一、不等式 明的基本方法1比 法比 法可分 差 比 法和商 比 法。（1）差 比 法原理A B 0A B【例 1】（ l ） m、 n 是奇偶性相同的自然数，
2、求 ：（ am bm）（ anbn） 2（ am+n+bm+n）。（2） 明：。【例 2】 a aa ， b bb ， j,j, ,jn是 1,2, ,n的任意一个排列，令12n12n12S=a1+ a 2+ a n，S0=a1bn+a2bn-1+a nb1， S1=a1b1+a2b2+anbn。求 ： S0SS1。（2）商 比 法原理若1，且 B0， AB。【例 3】已知 a,b,c02a2b2cb+c c+aa+b，求 ： abca b c。2分析法第 1页共 4页【例 4】若 x,y0 ，求证：。【例 5】若 a,b,c 是 ABC的三边长，求证：444222222a +b +c 0 ，
3、求证： abc(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)。【例 7】已知 ABC 的外接圆半径R=1，SABC=，a,b,c是 ABC的三边长，令S=， t=。求证： tS。4反证法【例 8】已知 a3+b3=2，求证： a+b2。5数学归纳法【例 9】证明对任意自然数n，。二、不等式证明的若干技巧无论用什么方法来证明不等式， 都需要对数学表达式进行适当的变形。 这种变形往往要求具有很高的技巧， 必须善于分析题目的特征， 根据题设条件， 综合地利用添、 拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。1 变形技巧【例 1】若 nN， S=+，求证： nSn+1。
4、【例 2】（ 1）若 A、B、C0 ， ，求证：第 2页共 4页sinA+sinB+sinC 3sin。（2） ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A,B ,C，求证：SABCSABC 。2 引入参变量【例 3】将一块尺寸为 4870 的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。【例 4】在 ABC 中，求证： a2 +b2+c24+(b -c) 2+(c-a) 2+(a-b) 2。其中， a,b,c是 ABC的三边长， = S ABC。3 数形结合、构造【例 5】证明：。4 递推【例 6】已知：x1=，x2=， xn=。求证：。三、放缩法【例 1】若 nN，n2，求证：。【例 2】、都是锐角，求证：9。【例 3】已知： a11， a1 a 21，a1 a 2an1，求证：。【例 4】 S=1+，求 S 的整数部分 S 。第 3页共 4页【例 5】设 a =5， a =a+，n=1,2, 。求证： 45a100045.1 。0nn-1第 4页共 4页
