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1、,函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有 唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，能确定y 是 x 的函数的是（）,x, A=xxZ，B=yyZ，对应法则 f：xy=; 3, A=xx0,xR, B=yyR，对应法则 f：x y2 =3x;,）, 变式 2. 下列式子能确定 y 是 x 的函数的有（,）,y=x 2 1 x, x2 y2 =2 x 1
2、 y 1 1 A、0 个B、1 个C、2 个D、3 个,变式 3. 已知函数 y=f（x），则对于直线 x=a（a 为常数），以下说法正确的是（）,B.y=f（x）图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f（x）图像与直线 x=a 最多有一个交点,A. y=f（x）图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f（x）图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4.对于函数 yf(x)，以下说法正确的有( ) y 是 x 的函数 对于不同的 x，y 的值也不同 f(a)表示当 xa 时函数 f(x)的值，是一个常量 f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A1 个B2 个C3 个D4 个,变式 5设
3、集合 Mx|0 x2，Ny|0y2，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有 ( ),ABCD 考点二：同一函数的判定,函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同（）,x2,. y= x. y ,x 2,. y ,x 2,.y=t . y 3 x3 ；. y ,O,1,O,O,O,X,X,X,X,y, A=R,B=R, 对应法则 f：xy= x2 ; 变式 1. 下列图像中，是函数图像的是（ yy,y,变式 1.下列函数中哪个与函数 y 2x3 相同（）,A
4、. y x 2xB. y x 2xC. y x,2x3,2 x,D. y x2,变式 2. 下列各组函数表示相等函数的是（）,x2 9,x 3,A. y 与 y x 3,2,B. y x 1 与 y x 1,C. y x0 （x0） 与 y 1（x0）,D. y 2x 1，xZ 与 y 2x 1，xZ,变式 3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？,x 3,(x 3)(x 5),（1） y1 ,y2 x 5,（2） y1 x 1 x 1 y2 (x 1)(x 1) （3） f1 (x) ( 2x 5) f 2 (x) 2x 5 2 考点三：求函数的定义域 当 f（x）是整式时，定义域为 R
5、； 当 f（x）是分式时，定义域是使分母不为 0 的x 取值集合； 当 f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的 x 取值集合； 当 f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为 0 的 x 取值集合； 当 f（x）是对数式时，定义域是使真数大于 0 且底数为不等于 1 的正数的 x 取值集合； 已学函数的定义域和值域 一次函数 y ax b (a 0) :定义域 R, 值域 R;,2反比例函 y k (k 0) :定义域x | x 0, 值域y | y 0 ;,x 3二次函数 y ax2 bx c (a 0) :定义域R,4a,值域：当a 0 时， y | y ,4ac
6、 b 2 ,4a,；当 a 0 时， y | y ,4ac b 2 , ,例 3. 函数 y 1 x2 x2 1 的定义域是（,）,A.1,1,B.( -1 , 1 )C. -1 , 1 D.(- ,-1 )( 1 ,+ ),1,2x,函数 y x1的定义域是(用区间表示) ,变式 1. 求下列函数的定义域,1,x 2,(1) f (x) ,2 x,2,1,； (2) f (x) 3x 2 ； (3) f (x) x 1 ,., x 10,(4) y ,x x,1,x 4,(5)yx 2；,|x|2,1 (6)y；,(7)y x2x1(x1)0.,求复合函数的定义域 例 5. 已知函数 f（
7、2x 1）定义域为1,3 , 求 f（x）的定义域,变式 1. 已知函数 f（x 1 ）的定义域为 0，3 ，求f（x）的定义域,变式 2. 已经函数 f（x）定义域为 0 , 4, 求 f x2 的定义域,考点四：求函数的值域 例 6求下列函数的值域 y 3x 1 ，x1，2 ,3，4，5 ( 观 察 法 ), y x2 4x 6 ，x1, 5,( 配方法 ：形如 y ax2 bx c ), y 2x x 1,( 换元法：形如 y ax b cx d ),2x, y ,x 1,cx d,( 分离常数法：形如 y ,ax b,),y ,3,x2 x,x2 1,2,22,a x2 b x c,a
8、 x2 b x c,( 判别式法：形如 y 111 ),变式 1. 求下列函数的值域 y 2x2 4x 3,y x x 1, f (x) 2x2 3x 4, f (x) 2x2 3x 4,(1 x 2),y =,2x 1,x 3,2x2 4x 7, y ,x2 2x 3,考点五：求函数的解析式,例 7 . 已知f（x）= x2 2x ，求 f（ x 1）的解析式,（ 代入法 / 拼凑法/换元法 ）,变式 1. 已知f（x）= 2x 1， 求 f（ x2 ）的解析式,变式 2. 已知f（x+1）= x2 3x 3 ，求 f（x）的解析式,变式 3. 已知 f ( x 1) x 2 x ，试求 f
9、 (x) 的解析式. 例 8. 若 f f（x） = 4x+3，求一次函数f（x）的解析式（ 待定系数法 ）,4,变式 1. 已知f（x）是二次函数，且 f x 1 f x 1 2x2 4x 4 ，求 f（x）.,变式 2.一次函数 f (x) 满足 f f (x) 4x 5 ，求该函数的解析式. 变式 3已知多项式 f (x) ax 7 ， g(x) x2 2x b2 ，且 f (x) g(x) x2 2 2x 9 .试求a 、b 的值. 变式 4已知 f(x)是二次函数，且 f(0)=2，f(x+1)f(x)=x1，求 f(x)的解析式. 变式 5已知二次函数 f（x）x2bxc 满足 f
10、（1x）f（1x）， 且 f（0）3，求 f（x）的解析式. 变式 6.已知函数 f（x）是一次函数，且满足 3f（x1）2f（x1）2x17，求 f（x）. 例 9. 已知f（x） 2 f（ x）= x ，求函数f（x）的解析式（ 消去法/ 方程组法 ）,变式 1. 已知 2 f（x） f（ x）= x+1 ，求函数f（x）的解析式, x ,5,变式 2. 已知 2 f（x） f 1 = 3x ，求函数f（x）的解析式,例 10. 设对任意数 x ， y,均有 f x y 2 f y x2 2xy y2 3x 3y ，求 f （ x ）的解析式 .,（ 赋值法 / 特殊值法）,变式 1. 已
11、知对一切 x，yR， f x y f x 2x y 1 y 都成立，且 f（0）=1，求 f（x）的解析式.,考点六：函数的求值 例 11. 已经函数f（x）= 2x3 x ，求 f（2）和 f（a）+f ( a)的值,变式 1. 已知f（2x）=,x,1 x2,，求 f（2）的值, ,5x 1x 0,3x 2 x 0,例 12. 已知函数 fx ,，求 f（1）+f（ 1）的值, f x 2 x 1, ,x x 1, ,变式 1. 已知函数 fx 2x 2 1 x 1，求 f f（ 4 ）的值, ,6,n ,变式 2. 已知函数 f n ,1, 2 f (n 2) n ,，求 f（5）的值,
12、例 13 . 设函数 f x ,log81 x,x(,1 x(1,), 2 x ,1,，求满足 f（x）=的 x 值 2,变式 1. 已知函数 f x , x ,x x1 x1,，若 f（x）=2，求 x 的值,考点七：映射 例 1判断下列对应是否是映射？,变式 1.下列各组映射是否是同一映射？ 变式 2.判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射？ （1）设 A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，对应法则 f : x 2x 1 （2）设 A N * , B 0,1 ，对应法则 f : x x除以2得的余数 （3） A N ， B 0,1,2 ， f : x x被3除所得
13、的余数,1 1 1,（4）设X 1, 2, 3, 4, Y 1, , f : x x取倒数 2 3 4 （5） A x | x 2, x N, B N ， f : x 小于x的最大质数,7,8,考点八：函数的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法 例 1 某种笔记本每个 5 元，买 x1,2,3,4个笔记本的钱数记为 y（元），试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式， 并画出这个函数的图像. 例 2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过 20g 付邮资 80 分，超过 20g 而不超过 40g 付邮资 160 分，依次类推， 每封 x g(0 x 100)的信函应付邮资为（单位
14、：分），试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式，并画出这个函数的图像.,例 3 画出函数 y=|x|=,x,x 0 的图象. xx 0,例 4 求下列函数的最大值、最小值与值域. y x 2 4x 1； y x 2 4x 1, x 3,4； y x 2 4x 1, x 0,1 ； y x 2 4x 1, x 0,5,5,3,1,-2,-5,x,O,y,函数的单调性与最值 增函数与减函数 单调性与单调区间 例 1 如图，是定义在闭区间-5，5上的函数 y f (x) 的图象，根据图象说出 y f (x) 的单调区间，以及在每一单调,区间上，函数 y f (x) 是增函数还是减函数.,例 2
15、证明函数 f (x) 3x 2 在 R 上是增函数.,例 3 证明函数 f (x) 1 在(0,+ )上是减函数. x,练习 1函数 y=x2+x+2 单调减区间是( ),1,1,2,A、, ) B、（-1，+） C、(, D、（-，+）,2 下面说法正确的选项 （ ） A函数的单调区间可以是函数的定义域,B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 3函数 f(x)=2x2mx+3,当 x2, ) 时,增函数,当x ,2时,是减函数, 则f（1）等于（ ） A3B13C7D由 m 而定的其它常数 4.如果函数f(x)x22(a1)x2 在区间(, 4 上是减函数，那么实数 a 的取值范围是（ ） Aa3 Ba3Ca5 Da3,5. 函数 y (2k 1)x b 在实数集上是增函数，则,（ ）,C b 0,D b 0,A k 1B k 1 22 . 已知函数 y 1 x2 2x 求: 2 当0
