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1、1. 3. 1单调性与最大（小）值（第一课时） 教学目标： 1使学生理解增函数、减函数的概念； 2使学生掌握判断某些函数增减性的方法； 3培养学生利用数学概念进行判断推理的能力； 4培养学生数形结合、辩证思维的能力； 5养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯 教学重点： 函数单调性的概念 教学难点： 函数单调性的判断和证明 教学方法： 讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1函数有哪几个要素？ 2函数的定义域怎样确定？怎样表示？ 3函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？ 4区间的表示方法 前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性 质（导入课题，板
2、书课题） （II ）讲授新课 1引例： 观察 y=x 2 的图象，回答下列问题（投影 1） 问题 1：函数 y=x 2 的图象在y 轴右侧的部分是上升 的，说明什么？ 随着 x 的增加， y 值在增加 问题 2： 怎样用数学语言表示呢？ 设 x1、x20 ，+，得 y1=f(x 1) ， y2=f(x2) 当 x1x2时， f(x1) f(x2) ( 学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发) 结论： 这时，说y1= x 2 在0 ，+ 上是增函数 （同理分析y 轴左侧部分）由此可有： 2定义：（投影 2） 一般地，设函数f(x) 的定义域为I ： 如果对于属于I 内某个区间上的任
3、意两个自变量的值x1、x2，当 x1x2时都有 f(x1) f(x 2) 那么就说 f (x) 在这个区间上是增函数（ increasing function） 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、 x2，当x1 f(x2) 那么就是 f (x) 在这个区间上是减函数 (decreasing function) 如果函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函说y=f(x) 在这一区间具 有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x) 的单调区间，在单调区间上增函数的图象是 上升的，减函数的图象是下降的 注意： （1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所
4、取两点x1，x2的任意性； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念 （III）例题分析 例 1 如图是定义在闭区间-5， 5上的函数)(xfy的图象， 根据图象说出)(xfy的 单调区间，及在每一单调区间上，)(xfy是增函数还是减函数（课本P32 例 1） 解：函数)(xfy的单调区间有5, 3,3 , 1,1 ,2,2,5， 其中)(xfy在区间2,5， 3 , 1上是减函数，在区间5,3,1 ,2上是 增函数 注意： 1 单调区间的书写 2 各单调区间之间的关系 以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法， 那么，对于任给函数，我们怎样根据
5、增减函数的定义来证明它的单调性呢？ 问题 3：y=f(x)在区间2, 5，3 ,1上是减函数；在区间1 ,2，5,3上是增函数，那么 在两个区间的公共端点处，如：x=-2 ，x=-1 ，x=3 处是增函数还是减函数？ 分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的 常数， 因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数 或分段连续函数， 对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调， 则它在闭区间也单调因 此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内） 说明 ： 要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图
6、上进行观察是一种常用而又粗略的方 法严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明 例 2证明函数23)(xxf在 R 上是增函数 证明：设 21,x x是 R 上的任意两个实数，且 21 xx，则 x y O -5 x y -5 5 0 21 xxx， 03)(3)23()23()()(212121xxxxxxfxfy 所以，23)(xxf在 R 上是增函数 分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤： a设 x1、x2给定区间，且x1x2； b计算 f(x1)- f(x2) 至最简； c判断上述差的符号； d下结论 例 3证明函数 x xf 1 )(在),0(上是减函数 证明：设 21,x
7、x是),0(上的任意两个实数，且 21 xx，则 0 21 xxx 21 12 21 21 11 )()( xx xx xx xfxfy 由),0(, 21 xx，得0 21x x，且0 12 xxx 于是0y所以， x xf 1 )(在),0(上是减函数 利用定义证明函数单调性的步骤： （1） 取值 （2） 计算x、y （3） 对比符号 （4） 结论 （IV ）课堂练习课本 P33 “探究题”和P36练习 13 注意 ：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明 这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法 （V）课时小结 本节课我们学习了函数单调性的
8、知识，同学们要切记： 单调性是对某个区间而言的，同 时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明 （VI ）课后作业 1、书面作业：课本P43 习题 1.3A 组题 1、2、 3题 2、预习作业： （1）预习内容：函数的最大值与最小值（P33P36） ； （2）预习提纲： a函数最大值与最小值的含义是什么？ b函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？ 1. 3. 1单调性与最大（小）值（第二课时） 教学目标： 1使学生理解函数最大（小）值及其几何意义； 2使学生掌握函数最值与函数单调性的关系； 3使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法； 4培养学生数形结合
9、、辩证思维的能力； 5养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯 教学重点： 函数最值的含义 教学难点： 单调函数最值的求法 教学方法： 讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1函数单调性的概念； 2函数单调性的判定 （II ）讲授新课 通过观察二次函数 2 yx和 2 yx的最高点和最低点引出函数最值的概念（板书课 题） 1函数最大值与最小值的含义 一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有( )f xM； （2）存在 0 xI，使得 0 ()f xM 那么，我们称 M 是函数( )yf x的最大值（ maximum value ） 思考：你
10、能仿照函数最大值的定义，给出函数( )yf x的最小值（minimum value ） 吗？ 2二次函数在给定区间上的最值 对二次函数 2 (0)yaxbxc a来说，若给定区间是(,)，则当0a时，函 数有最小值是 2 4 4 acb a ，当0a时，函数有最大值是 2 4 4 acb a ；若给定区间是 , a b，则 必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题） 3例题分析 例 1教材第34 页例题 3 例 2求函数 2 1 y x 在区间 2 ，6 上的最大值和最小值（教材第35 页例 4） 分析：先判定函数在区间2 ， 6 上的单调性，然后再求最大值和最小值 变式： 若区间为 6,2呢？ 例 3求函数 2 1yx在下列各区间上的最值： （1）(,)（2）1 ， 4 （ 3） 6, 2（4） 2,2（5） 2,4 练习：教材第36 页练习 4 作业：教材第45 页习题 1.3 A 组题第 4、 5题，组第1 题
